東京工業大学 1988年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ ，点 $(4, 0)$ を中心とする半径 $2$ の円を $D$ とする。動点 $P$ は点 $(1, 0)$ を出発し円 $C$ 上を時計と反対回りに角速度 $2$ で動き，動点 $Q$ は，同時刻に点 $(6, 0)$ を出発し円 $D$ 上を時計と反対回りに角速度 $1$ で動くものとする。 $P$ と $Q$ の距離の最大値と最小値を求め，最大値と最小値を与える $P$ ， $Q$ の座標を，それぞれ求めよ。

出典：東京工業大学 1988年度前期理系第4問

方針

時刻を $t$ として $P = (cos 2 t, sin 2 t)$ ， $Q = (4 + 2 cos t, 2 sin t)$ と表す。距離の2乗を $u = cos t$ の2次式に整理し， $- 1 ≦ u ≦ 1$ で最大最小を調べる。最大時は $cos t = 3/8$ から $sin t = \pm 55 /8$ とし，座標を求める。

解答

時刻を $t$ とする。角速度の条件より

P = (cos 2 t, sin 2 t), Q = (4 + 2 cos t, 2 sin t)

である。 $u = cos t$ とおくと， $- 1 ≦ u ≦ 1$ であり， $sin^{2} t = 1 - u^{2}$ である。

距離の2乗を $S$ とすると

S = (4 + 2 cos t - cos 2 t)^{2} + (2 sin t - sin 2 t)^{2} = (5 + 2 u - 2 u^{2})^{2} + 4 (1 - u^{2}) (1 - u)^{2} = - 16 u^{2} + 12 u + 29

である。

これは $u$ の係数が負で上に凸の2次式であるから，最大は頂点 $u = \frac{3}{8}$ でとり，

S_{最大} = - 16 \cdot \frac{9}{64} + 12 \cdot \frac{3}{8} + 29 = \frac{125}{4}

である。よって距離の最大値は $\frac{5 5}{2}$ である。このとき $sin t = \pm \frac{55}{8}$ であるから

P = (- \frac{23}{32}, \pm \frac{3 55}{32}), Q = (\frac{19}{4}, \pm \frac{55}{4})

である。複号は同順にとる。

最小は区間の端で調べればよい。 $u = 1$ のとき $S = 25$ ， $u = - 1$ のとき $S = 1$ である。よって距離の最小値は $1$ である。これは $cos t = - 1$ ， $sin t = 0$ のときであり，そのとき $P = (1, 0)$ ， $Q = (2, 0)$ である。

東京工業大学 1988年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 1988年度
理系数学第4問