東京工業大学 1988年度理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 1 + \frac{1}{n ^{2}} a_{n - 1}^{2}$ $(n = 2, 3, 4, \dots)$ で定める。このとき， $lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1988年度前期理系第1問

方針

漸化式から各項が正であることを確認し，さらに $a_{n} ≦ 2$ を数学的帰納法で示す。すると $a_{n} - 1 = a_{n - 1}^{2} / n^{2}$ が $0$ と $4/ n^{2}$ の間に挟まれるので，はさみうちで極限を求める。

解答

漸化式より，すべての $n$ で $a_{n} > 0$ である。

次に $a_{n} ≦ 2$ を示す。 $a_{1} = 1 ≦ 2$ である。 $n ≧ 2$ とし， $a_{n - 1} ≦ 2$ と仮定すると $a_{n} = 1 + \frac{a _{n - 1}^{2}}{n ^{2}} ≦ 1 + \frac{4}{n ^{2}} ≦ 2$ である。よって数学的帰納法により，すべての $n$ で $0 < a_{n} ≦ 2$ が成り立つ。

したがって $n ≧ 2$ について $0 < a_{n} - 1 = \frac{a _{n - 1}^{2}}{n ^{2}} ≦ \frac{4}{n ^{2}}$ である。 $\frac{4}{n ^{2}} \to 0$ であるから，はさみうちにより $a_{n} - 1 \to 0$ 。ゆえに $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1$ である。

東京工業大学 1988年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1988年度
理系数学第1問