東京工業大学 1988年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $y = cos (\frac{π}{2} x)$ と，原点を中心とする半径 $r$ の円との共有点の個数 $N (r)$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1988年度前期理系第3問

方針

共有点条件を $x^{2} + cos^{2} (π /2 x) = r^{2}$ に直す。 $t = π /2 x$ とおき，偶関数 $G (t) = 2 t^{2} / π + cos^{2} t$ の値が $r^{2}$ になる実数 $t$ の個数を数える。 $G^{'} (t) = 4 t / π - sin 2 t$ の符号を， $0 < 2 t < π /2$ での正弦の弦との比較と， $t > π /4$ での $4 t / π > 1$ から決める。

解答

半径なので $r ≧ 0$ とする。共有点では $x^{2} + cos^{2} (\frac{π}{2} x) = r^{2}$ である。 $t = \frac{π}{2} x$ とおくと，これは

G (t) = r^{2}, G (t) = \frac{2}{π} t^{2} + cos^{2} t

と同値である。 $x$ と $t$ は一対一に対応するので，求める個数は $G (t) = r^{2}$ の実数解の個数である。

$G (t)$ は偶関数である。 $t > 0$ で $G^{'} (t) = \frac{4}{π} t - sin 2 t$ である。 $0 < t < \frac{π}{4}$ のとき， $0 < 2 t < \frac{π}{2}$ であり， $y = sin u$ のグラフは区間 $[0, π /2]$ で両端を結ぶ線分より上にあるから $sin 2 t > \frac{4}{π} t$ である。よって $G^{'} (t) < 0$ 。一方， $t > \frac{π}{4}$ では $\frac{4}{π} t > 1 ≧ sin 2 t$ であるから $G^{'} (t) > 0$ 。したがって $G (t)$ は $0 < t < \frac{π}{4}$ で減少し， $t > \frac{π}{4}$ で増加する。

また

G (0) = 1, G (\frac{π}{4}) = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ^{2}}{16} + \frac{1}{2} = \frac{π + 4}{8}

である。よって $t > 0$ における解の個数を考えると， $r^{2} < \frac{π + 4}{8}$ では0個， $r^{2} = \frac{π + 4}{8}$ では1個， $\frac{π + 4}{8} < r^{2} < 1$ では2個， $r^{2} = 1$ では1個， $r^{2} > 1$ では1個である。ただし $r^{2} = 1$ のときは $t = 0$ も解である。

偶関数であることを合わせると

N (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 02432 (0 ≦ r < \frac{π + 4}{8}), (r = \frac{π + 4}{8}), (\frac{π + 4}{8} < r < 1), (r = 1), (r > 1)

である。

東京工業大学 1988年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 1988年度
理系数学第3問