東京工業大学 1987年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の点 $A$ が原点 $(0, 0)$ から点 $(n, n)$ （ $n$ は3以上の自然数）まで次の法則で動くものとする．

(i) $A$ が点 $(k, l)$ にあるとき， $k < n$ ， $l < n$ ならば2点 $(k + 1, l)$ または $(k, l + 1)$ のどちらかに確率 $\frac{1}{2}$ ずつで動く．

(ii) $A$ が点 $(n, l)$ $(l < n)$ にあるときは確率1で $(n, l + 1)$ へ動き，点 $(k, n)$ $(k < n)$ にあるときは確率1で $(k + 1, n)$ へ動く．

点 $A$ が点 $(k, l)$ を通過する確率を $P (k, l)$ とする．このとき次の問に答えよ．

(1) $k, l = 0, 1, 2, \dots, n - 1$ のとき， $P (k, l)$ を求めよ．

(2) $P (n, 2)$ を求めよ．

出典：東京工業大学 1987年度前期理系第5問

方針

(1) は $(k, l)$ が境界 $x = n$ ， $y = n$ に達する前の点なので，そこまでの各経路は右へ $k$ 回，上へ $l$ 回の合計 $k + l$ 回からなる。経路数と各経路の確率を掛ける。(2) は $(n, 2)$ を通るには，最初に右の境界へ到達する点が $(n, 0)$ ， $(n, 1)$ ， $(n, 2)$ のいずれかであればよいことを用い，直前の $(n - 1, j)$ から右へ動く確率を掛ける。

解答

(1)

$0 ≦ k ≦ n - 1$ ， $0 ≦ l ≦ n - 1$ とする。点 $(k, l)$ に達するまで，点 $A$ は境界 $x = n$ ， $y = n$ に到達していない。したがって各移動では，右へ動く確率も上へ動く確率も $1/2$ である。

原点から $(k, l)$ へ行くには，右への移動を $k$ 回，上への移動を $l$ 回，合計 $k + l$ 回行う必要がある。その順序の選び方は $_{k + l} C_{k}$ 通りであり，各経路の確率は $(1/2)^{k + l}$ である。よって $P (k, l) = \frac{_{k + l} C _{k}}{2 ^{k + l}}$ である。

(2)

点 $(n, 2)$ を通るのは，右の境界 $x = n$ に初めて到達する点が $(n, 0)$ ， $(n, 1)$ ， $(n, 2)$ のいずれかである場合である。 $(n, j)$ $(j = 0, 1, 2)$ に初めて到達するには， $(n - 1, j)$ から右へ動けばよい。ここで $(n - 1, j)$ は (1) の範囲内の点であり，その点から右へ動く確率は $1/2$ である。

したがって $P (n, 2) = \frac{1}{2} {P (n - 1, 0) + P (n - 1, 1) + P (n - 1, 2)}$ である。(1) より

P (n - 1, 0) = \frac{1}{2 ^{n - 1}}, P (n - 1, 1) = \frac{n}{2 ^{n}}, P (n - 1, 2) = \frac{_{n + 1} C _{2}}{2 ^{n + 1}} = \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n + 2}} .

よって

P (n, 2) = \frac{1}{2} {\frac{1}{2 ^{n - 1}} + \frac{n}{2 ^{n}} + \frac{n ( n + 1 )}{2 ^{n + 2}}} = \frac{n ^{2} + 5 n + 8}{2 ^{n + 3}}

である。

東京工業大学 1987年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1987年度
理系数学第5問