東京工業大学 1987年度
理系数学 第3問

解答

(1)

三角形 $ABC$ の外接円の中心を $O$，半径を $R$ とする。鋭角三角形または直角三角形では，外心 $O$ は三角形の内部または辺上にある。したがって，$O$ を原点とする位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とすれば，ある $u,v,w\geqq 0$ が存在して $u+v+w=1$，かつ$u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c}=\vec{0}$と表せる。また $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=R$ である。

いま，中心を任意の点 $Q$ とする円が $A,B,C$ を内部または周上に含むとする。$O$ を原点とした $Q$ の位置ベクトルを $\vec{q}$ とおく。この円の半径を $r$ とすれば，$|\vec{a}-\vec{q}|\leqq r$，$|\vec{b}-\vec{q}|\leqq r$，$|\vec{c}-\vec{q}|\leqq r$ である。一方，

である。左辺は3つの平方距離の重みつき平均なので，3つの距離がすべて $R$ より小さいことはない。よって $r\geqq R$ である。

外接円自身は $A,B,C$ を周上に含む半径 $R$ の円であるから，半径最小の円 $D$ は外接円である。

(2)

(1) より，三角形 $ABC$ が鋭角または直角ならば $D$ は外接円である。逆に鈍角三角形なら，最大辺を直径とする円が3点を含み，その半径は外接円の半径より小さいので，$D$ は外接円と異なる。したがって，求める範囲は三角形 $ABC$ が鈍角三角形となる範囲である。

$A=(-1,0)$，$B=(1,0)$，$C=(x,y)$ とする。角 $C$ が鈍角である条件は

すなわち $x^2+y^2<1$ である。

角 $A$ が鈍角である条件は$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(2,0)\cdot (x+1,y)=2(x+1)<0$より $x<-1$ である。角 $B$ が鈍角である条件は$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2,0)\cdot (x-1,y)=-2(x-1)<0$より $x>1$ である。

よって求める範囲は，条件 $x^2+y^2\leqq 4$，$y\ne 0$ のもとで$x^2+y^2<1\text{または}x<-1\text{または}x>1$を満たす部分である。すなわち，半径2の円 $x^2+y^2\leqq 4$ から $x$ 軸上の点を除いた範囲のうち，単位円 $x^2+y^2<1$ の内部と，直線 $x=-1$，$x=1$ の外側の部分を合わせた領域である。境界 $x^2+y^2=1$，$x=-1$，$x=1$ は直角三角形に対応するので含まない。ただし外側の境界 $x^2+y^2=4$ は条件により含む。