東京工業大学 1987年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ を正数とし，媒介変数 $t$ によって表示された曲線

C : x = t + e^{a t}, y = - t + e^{a t} (- \infty < t < \infty)

が $x$ 軸に接しているとする．このとき次の問に答えよ．

(1) $a$ の値を求めよ．

(2) 2直線 $y = 0$ ， $y = x$ および曲線 $C$ によって囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：東京工業大学 1987年度前期理系第4問

方針

(1) は $x$ 軸との接点で $y = 0$ かつ $d y / d x = 0$ となることを使う。 $d x / d t > 0$ なので $d y / d x = 0$ は $d y / d t = 0$ と同値である。(2) は $a = 1/ e$ を代入し，曲線と $y = x$ ， $y = 0$ の交点を求める。囲まれた部分を，直線 $y = x$ の下の三角形と，曲線の下で $1 ≦ x ≦ 2 e$ にある部分に分け，後者を媒介変数により $\int y d x$ として計算する。

解答

(1)

$x = t + e^{a t}$ ， $y = - t + e^{a t}$ とする。 $a > 0$ より $\frac{d x}{d t} = 1 + a e^{a t} > 0$ である。曲線が $x$ 軸に接する点では $y = 0$ かつ $d y / d x = 0$ であるから， $d y / d t = 0$ である。

したがって，ある $t$ について

- t + e^{a t} = 0, - 1 + a e^{a t} = 0

が成り立つ。第2式より $e^{a t} = 1/ a$ ，第1式より $t = 1/ a$ である。これを $e^{a t} = 1/ a$ に代入すると $e = 1/ a$ となるから， $a = 1/ e$ である。

(2)

以下， $a = 1/ e$ とする。曲線は $x = t + e^{t / e}$ ， $y = - t + e^{t / e}$ である。

直線 $y = x$ との交点は $- t + e^{t / e} = t + e^{t / e}$ より $t = 0$ ，したがって $(1, 1)$ である。また $x$ 軸との接点は (1) より $t = e$ ，したがって $(2 e, 0)$ である。さらに $y = 0$ と $y = x$ の交点は原点である。

求める面積を $S$ とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ では上側の境界は $y = x$ であり，面積は $1/2$ である。 $1 ≦ x ≦ 2 e$ では上側の境界は曲線 $C$ であり， $d x / d t = 1 + e^{t / e} / e > 0$ だから $t$ を $0$ から $e$ まで動かして面積を計算できる。したがって

S = \frac{1}{2} + \int_{0}^{e} (- t + e^{t / e}) (1 + \frac{1}{e} e^{t / e}) d t = \frac{1}{2} + \int_{0}^{e} (- t + e^{t / e}) d t + \frac{1}{e} \int_{0}^{e} (- t e^{t / e} + e^{2 t / e}) d t

である。ここで $u = t / e$ とおくと，

\int_{0}^{e} (- t + e^{t / e}) d t \frac{1}{e} \int_{0}^{e} (- t e^{t / e} + e^{2 t / e}) d t = \frac{e ^{2}}{2} - e, = - e + \frac{e ^{2} - 1}{2}

である。よって

S = \frac{1}{2} + (\frac{e ^{2}}{2} - e) + (- e + \frac{e ^{2} - 1}{2}) = e^{2} - 2 e

である。

東京工業大学 1987年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1987年度
理系数学第4問