東京工業大学 1987年度理系数学第1問解答・解説

問題

$1 > a > 0$ ， $b ≧ c > 0$ とする．3次方程式 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ が3実数解 $α$ ， $β$ ， $γ$ をもつならば $- 1 < α, β, γ < 0$ となることを証明せよ．

出典：東京工業大学 1987年度前期理系第1問

方針

係数がすべて正であることから非負の実数解が存在しないことをまず示す。3実数解がすべて負であると分かったら， $α = - p$ ， $β = - q$ ， $γ = - r$ とおき，解と係数の関係から $p + q + r = a < 1$ を得る。 $p, q, r$ は正なので各々が $1$ 未満となり，目的の範囲が従う。

解答

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ とおく。 $x ≧ 0$ のとき， $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ より $f (x) > 0$ である。したがってこの方程式は非負の実数解をもたない。

仮定より3つの解 $α, β, γ$ はすべて実数であるから，以上により $α < 0$ ， $β < 0$ ， $γ < 0$ である。

そこで $p = - α$ ， $q = - β$ ， $r = - γ$ とおくと， $p, q, r > 0$ である。解と係数の関係より $α + β + γ = - a$ だから， $p + q + r = a$ である。 $0 < a < 1$ かつ $p, q, r > 0$ なので， $0 < p < 1$ ， $0 < q < 1$ ， $0 < r < 1$ が成り立つ。

よって $- 1 < α < 0$ ， $- 1 < β < 0$ ， $- 1 < γ < 0$ である。

東京工業大学 1987年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 1987年度
理系数学第1問