東京工業大学 1987年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ が与えられている．点列 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を

(x_{n} y_{n}) = \frac{3}{2} \frac{1}{2} 11 (x_{n - 1} y_{n - 1})

と定める．このとき次の問に答えよ．

(1) $x_{n} + y_{n}$ ， $x_{n} - 2 y_{n}$ をそれぞれ $x_{0}$ ， $y_{0}$ で表せ．

(2) $(x_{0}, y_{0}) \neq = (0, 0)$ のとき， $n \to \infty lim \frac{x _{n} ^{2}}{x _{n} ^{2} + y _{n} ^{2}}$ を求めよ．

出典：東京工業大学 1987年度前期理系第2問

方針

$s_{n} = x_{n} + y_{n}$ ， $d_{n} = x_{n} - 2 y_{n}$ とおくと，問題の変換により $s_{n} = 2 s_{n - 1}$ ， $d_{n} = d_{n - 1} /2$ という独立した等比数列になる。そこから $x_{n}, y_{n}$ を $s_{n}, d_{n}$ で戻す。(2) は $s_{0} = x_{0} + y_{0}$ が $0$ かどうかで支配的な項が変わるため場合分けする。

解答

(1)

$s_{n} = x_{n} + y_{n}$ ， $d_{n} = x_{n} - 2 y_{n}$ とおく。漸化式より

x_{n} y_{n} = \frac{3}{2} x_{n - 1} + y_{n - 1}, = \frac{1}{2} x_{n - 1} + y_{n - 1}

であるから，

s_{n} = 2 x_{n - 1} + 2 y_{n - 1} = 2 s_{n - 1}, d_{n} = \frac{1}{2} x_{n - 1} - y_{n - 1} = \frac{1}{2} d_{n - 1}

である。よって

x_{n} + y_{n} = 2^{n} (x_{0} + y_{0}), x_{n} - 2 y_{n} = (\frac{1}{2})^{n} (x_{0} - 2 y_{0})

である。

(2)

(1) の記号を用いると， $s_{n} = x_{n} + y_{n}$ ， $d_{n} = x_{n} - 2 y_{n}$ より

x_{n} = \frac{2 s _{n} + d _{n}}{3}, y_{n} = \frac{s _{n} - d _{n}}{3}

である。

まず $s_{0} = x_{0} + y_{0} \neq = 0$ のとき， $s_{n} = 2^{n} s_{0}$ ， $d_{n} = (1/2)^{n} d_{0}$ だから， $d_{n} / s_{n} \to 0$ である。したがって $\frac{x _{n}}{s _{n}} \to \frac{2}{3}, \frac{y _{n}}{s _{n}} \to \frac{1}{3}$ より

n \to \infty lim \frac{x _{n}^{2}}{x _{n}^{2} + y _{n}^{2}} = \frac{( 2/3 ) ^{2}}{( 2/3 ) ^{2} + ( 1/3 ) ^{2}} = \frac{4}{5}

である。

次に $s_{0} = 0$ のとき， $(x_{0}, y_{0}) \neq = (0, 0)$ であるから $d_{0} = x_{0} - 2 y_{0} \neq = 0$ である。このときすべての $n$ で $s_{n} = 0$ なので， $x_{n} = d_{n} /3$ ， $y_{n} = - d_{n} /3$ である。よって

\frac{x _{n}^{2}}{x _{n}^{2} + y _{n}^{2}} = \frac{( d _{n} /3 ) ^{2}}{( d _{n} /3 ) ^{2} + ( - d _{n} /3 ) ^{2}} = \frac{1}{2}

である。

以上より，求める極限は

⎩ ⎨ ⎧ \frac{4}{5} \frac{1}{2} (x_{0} + y_{0} \neq = 0), (x_{0} + y_{0} = 0)

である。

東京工業大学 1987年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1987年度
理系数学第2問