東京工業大学 1986年度理系数学第5問解答・解説

問題

$m$ ， $n$ を自然数とする．第1象限内の曲線 $x^{\frac{1}{m}} + y^{\frac{1}{n}} = 1$ と $x$ 軸， $y$ 軸とで囲まれる部分の面積を $A (m, n)$ とする．

(1) $A (m, 1)$ を求めよ．

(2) $A (m, n + 1) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 1, n)$ であることを示せ．

(3) $A (m, n)$ を求めよ．

出典：東京工業大学 1986年度前期理系第5問

方針

曲線を $y = (1 - x^{1/ m})^{n}$ と表して面積を積分で書く。(1) は直接積分する。(2) は $x = t^{m}$ とおいてから部分積分し，右辺の $A (m + 1, n)$ と同じ積分に直す。(3) は (1)，(2) を使って $n$ に関する帰納法で $A (m, n) = m! n! / (m + n)!$ を示す。

解答

(1)

第1象限では $0 ≦ x ≦ 1$ であり，曲線は $y = (1 - x^{1/ m})^{n}$ と表される。したがって

A (m, 1) = \int_{0}^{1} (1 - x^{1/ m}) d x = 1 - [\frac{m}{m + 1} x^{\frac{m + 1}{m}}]_{0}^{1} = \frac{1}{m + 1}

である。

(2)

A (m, n + 1) = \int_{0}^{1} (1 - x^{1/ m})^{n + 1} d x

である。 $x = t^{m}$ とおくと $d x = m t^{m - 1} d t$ であるから

A (m, n + 1) = m \int_{0}^{1} t^{m - 1} (1 - t)^{n + 1} d t

となる。ここで部分積分を用いると

A (m, n + 1) = m [\frac{t ^{m}}{m} (1 - t)^{n + 1}]_{0}^{1} + (n + 1) \int_{0}^{1} t^{m} (1 - t)^{n} d t = (n + 1) \int_{0}^{1} t^{m} (1 - t)^{n} d t

である。一方， $A (m + 1, n)$ について $x = t^{m + 1}$ とおくと

A (m + 1, n) = (m + 1) \int_{0}^{1} t^{m} (1 - t)^{n} d t

である。よって $A (m, n + 1) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 1, n)$ が成り立つ。

(3)

$A (m, n) = \frac{m ! n !}{( m + n )!}$ であることを示す。

まず (1) より $A (m, 1) = \frac{1}{m + 1} = \frac{m !}{( m + 1 )!}$ であるから， $n = 1$ で成り立つ。

ある自然数 $n$ について，すべての自然数 $r$ に対し $A (r, n) = \frac{r ! n !}{( r + n )!}$ が成り立つと仮定する。このとき (2) より

A (m, n + 1) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 1, n) = \frac{n + 1}{m + 1} \cdot \frac{( m + 1 )! n !}{( m + n + 1 )!} = \frac{m ! ( n + 1 )!}{( m + n + 1 )!}

である。したがって数学的帰納法により，すべての自然数 $m, n$ について $A (m, n) = \frac{m ! n !}{( m + n )!}$ である。

東京工業大学 1986年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 1986年度
理系数学第5問