問題
空間内に正四面体 がある．頂点 ， は直線 上にあり，頂点 ， は直線 上にある． の 座標は の 座標より大きく， の 座標は の 座標より大きい．
(1) 辺 の中点 ，および辺 の中点 の座標を求めよ．
(2) 正四面体 の1辺の長さを求めよ．
(3) 頂点 の座標を求めよ．
出典：東京工業大学 1986年度 前期 理系 第2問
方針
正四面体では，向かい合う辺 ， の中点を結ぶ直線が両方の辺に垂直になる。そこで ， 上の点をパラメータで表し，共通垂線の条件から を求める。さらに ，， の方向が互いに垂直であることを使い，1辺を として を立てる。最後に は から の正の 方向へ だけ進んだ点である。
解答
(1)
直線 の方向ベクトルを ，直線 の方向ベクトルを とする。 は 上， は 上にあり，正四面体の向かい合う辺の中点を結ぶ直線はその2辺に垂直であるから， は ， の両方に垂直である。
， とおく。このときである。 より，すなわち 。また より，すなわち 。
したがって，である。
(2)
である。また だから，辺 と辺 の方向は垂直である。
正四面体の1辺の長さを とする。 は から辺 方向へ距離 だけ離れ， は から辺 方向へ距離 だけ離れる。，， の3方向は互いに垂直であるから，たとえば について
となる。正四面体なので であり，。よって であるから，1辺の長さは である。
(3)
の単位方向ベクトルのうち 成分が正のものは である。 の 座標は の 座標より大きいので，
である。したがってである。