東京工業大学 1986年度理系数学第1問解答・解説

問題

整数 $a_{n} = 19^{n} + (- 1)^{n - 1} 2^{4 n - 3}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ のすべてを割り切る素数を求めよ．

出典：東京工業大学 1986年度前期理系第1問

すべての $a_{n}$ を割り切る素数は，特に $a_{1}$ と $a_{2}$ を割り切る。まずこの2項から候補を絞り，残った候補について合同式で任意の $n$ に対する割り切りを確認する。

まず $a_{1} = 19 + 2 = 21$ ， $a_{2} = 1 9^{2} - 2^{5} = 361 - 32 = 329$ である。すべての $a_{n}$ を割り切る素数は $21$ と $329$ をともに割り切る。

$329 = 7 \cdot 47$ であり， $21 = 3 \cdot 7$ であるから，候補は $7$ だけである。

実際，法 $7$ で考えると $19 \equiv 5 \equiv - 2 (mod 7)$ であり，また $2^{4 n - 3} = 2 (2^{4})^{n - 1} \equiv 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} (mod 7)$ である。したがって

a_{n} \equiv (- 2)^{n} + (- 1)^{n - 1} 2^{n} = (- 1)^{n} 2^{n} + (- 1)^{n - 1} 2^{n} = 0 (mod 7)

となる。よって $7$ はすべての $a_{n}$ を割り切る。

以上より，求める素数は $7$ である。