問題
放物線 の頂点が曲線 上にあり，これらの2曲線の互いに相異なる共有点の個数が2であるとする．このとき，これらの2曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．ただし， とする．
出典：東京工業大学 1986年度 前期 理系 第4問
方針
放物線の頂点が で，これが3次曲線上にあるので とおく。交点の 座標を与える方程式は必ず を根にもつ。これを因数分解し，異なる共有点が2個になる条件から を決める。あとは2つの交点間で上下関係を確認し，差を積分する。
解答
頂点 が 上にあるのでである。共有点の 座標はを満たす。整理するとである。この方程式は を根にもつから，左辺はと因数分解される。
二次式の判別式はであり， では正である。したがって二次式は異なる2つの実数解をもつ。共有点の個数が相異なるものとして2個になるには，この二次式の一方の根が と一致しなければならない。
よって，すなわち である。 より である。このとき であり，放物線は である。
2曲線の差をとると
である。したがって交点の 座標は と であり， では だから，3次曲線が放物線の上側にある。
求める面積は
である。