問題
微分可能な関数 が，区間 で正の値をとり，次の2条件(i)，(ii)を満たすとする．
(i) ，
(ii) である任意の と とに対して，4点 ，，， を頂点とする四辺形 の面積と，関数 のグラフと線分 ， および で囲まれる部分の面積との比が， と とによらず一定である．
このような関数 を求めよ．
出典：東京工業大学 1986年度 前期 理系 第3問
方針
四辺形は台形で，その面積は ，曲線下の面積は である。幅を に近づけると両者の比は に近づくので，条件の一定比は である。よって任意の区間で台形公式が厳密に成り立つ。これを上端 で微分し，任意の左端 について を得て， が一次関数に限られることを示す。
解答
四辺形 は平行な2辺の長さが ，，その間の距離が の台形であるから，その面積はである。また，曲線で囲まれる部分の面積は である。
この2つの面積の比を一定値 とする。 は微分可能であるから連続であり， を に右から近づけると
である。したがって である。よって任意の について
が成り立つ。
ここで を固定し， で微分するとである。したがってが成り立つ。
この式は，固定した に対して のすべてで成り立つから， は区間 上で一次関数である。特に， を任意にとり， となる を選べば， 上で同じ一次式が と の両方を含む。さらにこの一次式は を通るので，異なる から得られる一次式は重なり合う区間で一致する。よって 上で は1つの一次関数である。 は で連続であるから， 全体で一次関数である。
， より，この一次関数はである。実際，この関数は正であり，任意の区間で直線下の面積が台形の面積に等しいので条件を満たす。
以上より，求める関数は である。