東京工業大学 1985年度理系数学第5問解答・解説

問題

1から $n$ までの整数を1枚に1つずつ書いた $n$ 枚のカードの組を3組用意する。3人がそれぞれ1組ずつを持ち，各人はその中から無作為に1枚のカードを抜き出し，そこに書かれた数によって得点を次のようにA，B 2通り定める。最大数を出した人が1人だけのとき，その人の得点は

A：自分の出した数

B：他の2人の出した数の和

とし，他の2人の得点は，A，Bいずれの場合も0とする。最大数を出した人が2人以上のときは，A，Bいずれの場合も，3人の得点は0とする。各人の得点の期待値を，A，Bそれぞれの場合について， $n$ を用いて表せ。

出典：東京工業大学 1985年度前期理系第5問

方針

3人は対称なので，1人を固定して期待値を求める。固定した人が $k$ を出してただ1人の最大になるには，他の2人がともに $1, 2, \dots, k - 1$ を出せばよい。A では得点 $k$ を掛け，B では他の2人の数の和を，すべての組について足し上げる。最後に標準的な和の公式で整理する。

解答

3人は対称であるから，1人を固定してその得点の期待値を求めればよい。固定した人の出した数を $k$ とする。この人がただ1人の最大数を出すためには，他の2人の数がともに $1, 2, \dots, k - 1$ のいずれかであることが必要十分である。

Aの場合を考える。全事象は $n^{3}$ 通りで同様に確からしい。固定した人が $k$ を出して勝つ場合は $(k - 1)^{2}$ 通りあり，そのとき得点は $k$ である。したがって期待値 $E_{A}$ は

E_{A} = \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k (k - 1)^{2}

である。ここで

k = 1 \sum n k (k - 1)^{2} = k = 1 \sum n (k^{3} - 2 k^{2} + k) = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{3} + \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n - 2 )}{12}

であるから $E_{A} = \frac{( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n - 2 )}{12 n ^{2}}$ である。

次にBの場合を考える。固定した人が $k$ を出して勝つとき，他の2人の数を $i, j$ とすれば $1 ≦ i ≦ k - 1$ ， $1 ≦ j ≦ k - 1$ で，得点は $i + j$ である。よって期待値 $E_{B}$ は

E_{B} = \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n i = 1 \sum k - 1 j = 1 \sum k - 1 (i + j) = \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n 2 (k - 1) \frac{( k - 1 ) k}{2} = \frac{1}{n ^{3}} k = 1 \sum n k (k - 1)^{2} = \frac{( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n - 2 )}{12 n ^{2}}

である。

したがって，各人の得点の期待値は，A，B のいずれの場合も $\frac{( n + 1 ) ( n - 1 ) ( 3 n - 2 )}{12 n ^{2}}$ である。

東京工業大学 1985年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京工業大学 1985年度
理系数学第5問