東京工業大学 1985年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$1+\sqrt{2}$ は $1^2-2\cdot 1^2=-1$ かつ $1+\sqrt{2}>0$ を満たすから $G$ の元である。よって $u\leqq 1+\sqrt{2}$ である。

いま $g=a+\sqrt{2}b$ が $G$ の元で，$1<g<1+\sqrt{2}$ と仮定する。共役を $g^{\prime }=a-\sqrt{2}b$ とおくと，$g{g}^{\prime }=a^2-2b^2=\pm 1$ であるから $|g^{\prime }|=1/g<1$ である。したがって

より，整数 $a$ は $-1,0,1$ のいずれかである。

$a=0$ のとき $-2b^2=\pm 1$ となり不可能である。$a=1$ のとき $1-2b^2=\pm 1$ より $b=0,\pm 1$ で，対応する正の値は $1$ または $1+\sqrt{2}$ であり，$1<g<1+\sqrt{2}$ に反する。$a=-1$ のときも $1-2b^2=\pm 1$ より $b=0,\pm 1$ で，正の値は $-1+\sqrt{2}<1$ だけである。よって $1<g<1+\sqrt{2}$ となる $G$ の元は存在しない。

以上より，1より大きい $G$ の元のうち最小のものは$u=1+\sqrt{2}$である。

(2)

まず $u=1+\sqrt{2}$ について，$u^{-1}=\sqrt{2}-1=-1+\sqrt{2}$ である。したがって整数 $n$ に対して，$u^n=A+B\sqrt{2}$ となる整数 $A,B$ が存在する。実際，$n\geqq 0$ では $1+\sqrt{2}$ を掛ける帰納法で従い，$n<0$ では $\sqrt{2}-1$ を掛ける帰納法で従う。

また $(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=-1$ であるから，$u^n$ の共役との積は $(-1{)}^n$ である。ゆえに $u^n$ は正で，その係数は整数，かつノルムは $\pm 1$ である。

$g=a+\sqrt{2}b$ を $G$ の元，$u^n=A+B\sqrt{2}$ とすると$g{u}^n=(aA+2bB)+\sqrt{2}(aB+bA)$であり，係数は整数である。さらに共役との積は $(a^2-2b^2)(A^2-2B^2)=\pm 1$，また $g>0$，$u^n>0$ より $g{u}^n>0$ である。したがって $g{u}^n$ は $G$ の元である。

(3)

$g$ を $G$ の任意の元とする。$u>1$ であるから，整数 $k$ を大きくすれば $u^k>g$ となり，整数 $k$ を小さくすれば $u^k<g$ となる。よって，ある整数 $m$ について$u^m\leqq g<u^{m+1}$が成り立つ。

(2)

より $h=g{u}^{-m}$ は $G$ の元であり，上の不等式から $1\leqq h<u$ である。もし $h>1$ なら，$h$ は1より大きく $u$ より小さい $G$ の元となり，$u$ の最小性に反する。したがって $h=1$ であり，$g=u^m$ である。