問題
空間において，6枚の平面 ，，，，， で囲まれてできる直方体を とする。 である実数 に対し，平面 で を2分したとき，小さいほうの体積（等しいときは，どちらでもよい）を とする。
(1) を求めよ。
(2) を の関数と考えたとき， および で微分可能であるか。
出典：東京工業大学 1985年度 前期 理系 第2問
方針
，， とおくと，直方体は単位立方体になり，体積は6倍される。単位立方体内の の体積を，平面が頂点を通過する で場合分けして求める。その体積と全体からの差の小さい方を取り，最後に左右微分係数を比較する。
解答
(1)
，， とおく。このとき ，， であり，体積は で6倍される。単位立方体内で となる部分の体積を とする。
では，切り取られる部分は切片がすべて の三角錐であるから である。
では，座標軸の正方向にできる大きい三角錐から，，， を越えた3つの合同な三角錐を除けばよい。したがってである。
では，補集合 は頂点 にできる切片 の三角錐であるからである。
元の直方体で，平面の一方の側の体積を とおくと
である。直方体全体の体積は6で， である。また は増加するから，小さい方の体積は
である。
(2)
での左微分係数は に を代入して3である。右微分係数は に を代入して3である。したがって では微分可能である。
での左微分係数はに を代入して である。右微分係数はに を代入して である。左右の微分係数が異なるので， では微分可能でない。