問題
平面上の点 を通る曲線 上の である任意の点 について，その点での の接線が点 を通るという。この曲線の方程式を求めよ。
出典：東京工業大学 1985年度 前期 理系 第4問
方針
接線の傾きを，点 と指定された通過点の2点から計算する。得られる関係は である。これを一般の微分方程式として扱うのではなく， を直接計算して定数であることを示し，曲線が を通ることから定数を決める。
解答
曲線 上の の点 における接線の傾きは である。一方，この接線はを通るから，2点 ， を結ぶ直線の傾きに等しい。よって
である。
ここで の範囲で
である。したがって の部分でも の部分でも， はそれぞれ定数である。
曲線 は点 を通る曲線であり，その両側の枝は に近づくと が2に近づく。したがって上の定数はいずれも
である。ゆえにすなわち，求める曲線の方程式はである。実際この曲線では であり，接線は指定された点を通る。