東京工業大学 1985年度理系数学第3問解答・解説

問題

5つの円 $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}, O_{5}$ がある。 $O_{1}$ ， $O_{2}$ は半径がそれぞれ1と $a$ $(0 < a < 1)$ の同心円である。 $O_{3}$ は $O_{1}$ に内接し， $O_{2}$ と互いに外接する。 $O_{4}$ は $O_{1}$ に内接し， $O_{2}$ ， $O_{3}$ と互いに外接する。 $O_{5}$ は $O_{1}$ に内接し， $O_{3}$ ， $O_{4}$ と互いに外接する。ただし， $O_{2}$ ， $O_{3}$ ， $O_{4}$ ， $O_{5}$ の中心をそれぞれ $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ とするとき， $D$ は $B$ ， $C$ を通る直線に関して $A$ の反対側にあるものとする。

(1) 四辺形 $A B D C$ の面積 $S (a)$ を求めよ。

(2) $S (a)$ の最大値を求めよ。

出典：東京工業大学 1985年度前期理系第3問

方針

接円の半径と中心間距離を順に求め、 $s = a$ で四辺形の面積を表して微分する。

解答

(1)

$O_{1}$ と $O_{2}$ の共通の中心が $A$ である。 $O_{3}$ の半径を $r$ とすると， $O_{1}$ に内接し $O_{2}$ に外接するから

A B = 1 - r = a + r

である。よって $r = (1 - a) /2$ ， $A B = (1 + a) /2$ である。同様に $O_{4}$ の半径も $(1 - a) /2$ であり， $A C = (1 + a) /2$ である。また $O_{3}$ と $O_{4}$ は外接するので $B C = 1 - a$ である。

$B C$ の中点を $M$ とする。三角形 $A B C$ は二等辺三角形であり，

A M^{2} = (\frac{1 + a}{2})^{2} - (\frac{1 - a}{2})^{2} = a

であるから， $A M = a$ である。

次に $O_{5}$ の半径を $q$ ， $M D = d$ とする。 $D$ は直線 $B C$ に関して $A$ の反対側にあるから $A D = a + d$ である。 $O_{5}$ が $O_{1}$ に内接することから $a + d = 1 - q$ である。また $O_{5}$ は $O_{3}$ ， $O_{4}$ に外接するので

B D = C D = \frac{1 - a}{2} + q

である。直角三角形 $B M D$ より

d^{2} + (\frac{1 - a}{2})^{2} = (\frac{1 - a}{2} + q)^{2}

したがって $d^{2} = (1 - a) q + q^{2}$ である。

$s = a$ とおく。上の $d = 1 - q - s$ を代入すると $(1 - q - s)^{2} = (1 - s^{2}) q + q^{2}$ であり，整理して $(1 - s)^{2} = (1 - s) (3 + s) q$ を得る。 $0 < s < 1$ より

q = \frac{1 - s}{3 + s}, d = 1 - s - q = \frac{( 1 - s ) ( 2 + s )}{3 + s}

である。

四辺形 $A B D C$ は三角形 $A B C$ と三角形 $B D C$ を合わせたものであり，共通の底辺は $B C = 1 - a$ ，高さの和は $a + d$ である。よって

S (a) = \frac{1}{2} (1 - a) (s + \frac{( 1 - s ) ( 2 + s )}{3 + s}) = \frac{1}{2} (1 - s^{2}) \cdot \frac{2 ( s + 1 )}{s + 3} = \frac{( 1 - s ) ( 1 + s ) ^{2}}{s + 3}

である。したがって $S (a) = \frac{( 1 - a ) ( 1 + a ) ^{2}}{3 + a}$ である。

(2)

$s = a$ とおけば $0 < s < 1$ で， $S = \frac{( 1 - s ) ( 1 + s ) ^{2}}{s + 3}$ である。分子を展開して微分すると $\frac{d S}{d s} = \frac{- 2 ( s ^{3} + 5 s ^{2} + 3 s - 1 )}{( s + 3 ) ^{2}}$ である。ここで $s^{3} + 5 s^{2} + 3 s - 1 = (s - 5 + 2) (s^{2} + (3 + 5) s + 5 + 2)$ であり， $0 < s < 1$ では第2因子は正である。したがって $S$ は $0 < s < 5 - 2$ で増加し， $5 - 2 < s < 1$ で減少する。

よって最大は $s = 5 - 2$ ，すなわち $a = (5 - 2)^{2}$ のときに生じ，最大値は $\frac{( 3 - 5 ) ( 5 - 1 ) ^{2}}{5 + 1} = 105 - 22$ である。

東京工業大学 1985年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1985年度
理系数学第3問