東京工業大学 1984年度
理系数学 第5問

解答

交点の $x$ 座標を $\alpha$ とする。交点は第1象限にあるので $0<\alpha <\pi /2$ である。$s=\sin \alpha$，$c=\cos \alpha$ とおくと，$\tan \alpha =\cos \alpha$ より $s/c=c$，すなわち $s=c^2$ である。したがって $c^2=1-s^2$ も合わせて $s=1-s^2$，すなわち $s^2+s-1=0$ であり，$0<s<1$ だから$s=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$である。

$y=\tan x$ の $x=\alpha$ における接線の傾きは $1/c^2=1/s$ である。接点の $y$ 座標は $\tan \alpha =c$ だから，接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $\beta$ とすると $\alpha -\beta =cs$ である。$0<s<1$ かつ $\alpha >\sin \alpha =s>cs$ より $\beta >0$ である。

接線を $y=L(x)$ とおくと，$0\leqq x<\alpha$ で $\tan x-L(x)>0$ である。実際，$H(x)=\tan x-L(x)$ とおけば $H(\alpha )=0$，また $0\leqq x<\alpha$ で $H^{\prime }(x)=1/{\cos }^{2}x-1/{\cos }^2\alpha <0$ だからである。したがって，第1象限で囲まれる部分の面積は，$0\leqq x\leqq \alpha$ で曲線 $y=\tan x$ の下にある面積から，接線と $x$ 軸でできる三角形の面積を引けばよい。よって

である。ここで $c^2=s$ だから $-\log c=-\frac{1}{2}\log s=\frac{1}{2}\log \frac{1}{s}$ であり，$1/s=(1+\sqrt{5})/2$，$s^2=(3-\sqrt{5})/2$ である。したがって求める面積は $\frac{1}{2}\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{4}$ である。