問題
曲線 を とし， を とする． 上に点 ， 上に点 をとり，， を結ぶ直線を とする．原点を とする．
(1) がまたはの接線になっているとき， の面積は一定であることを示せ．
(2) の面積が(1)の値に等しいとき，はまたはの接線になることを示せ．
出典：東京工業大学 1984年度 前期 理系 第3問
方針
， とおく。三角形の面積は となる。直線の傾きと各曲線の接線の傾きを比較し，接線条件を または と表す。(2) は面積条件から同じ比を導く。
解答
(1)
， として ， とおく。このとき
である。また，直線 の傾きは である。
が の接線であるとき，接点は である。 の における接線の傾きは だから， である。これを整理すると であり， となる。よって である。
が の接線であるときも同様に，接点は である。 の における接線の傾きは だから， となり，，すなわち を得る。この場合も面積は である。したがって，接線になっているとき面積は一定値 である。
(2)
とおくと，面積は である。これが(1)の値 に等しいとすると， である。 より， であるから， または となる。前者では であり，(1)で示した計算を逆にたどって は の接線である。後者では であり， は の接線である。よって，面積が(1)の値に等しいとき， は または の接線である。