東京工業大学 1984年度理系数学第4問解答・解説

問題

定積分 $\int_{0}^{1} e^{x} ∣ x - a ∣ d x$ を最小にする $a$ を求めよ．

出典：東京工業大学 1984年度前期理系第4問

方針

$a$ が区間外にある場合は絶対値が外れ，最小は $[0, 1]$ 内にあることを先に確認する。 $0 ≦ a ≦ 1$ では積分を $[0, a]$ ， $[a, 1]$ に分け， $a$ で微分して符号変化を調べる。

解答

$F (a) = \int_{0}^{1} e^{x} ∣ x - a ∣ d x$ とおく。 $a ≦ 0$ のとき $∣ x - a ∣ = x - a$ であるから， $a$ を増やすと $F (a)$ は減少する。 $a ≧ 1$ のとき $∣ x - a ∣ = a - x$ であるから， $a$ を増やすと $F (a)$ は増加する。したがって最小を与える $a$ は $0 ≦ a ≦ 1$ にある。

$0 ≦ a ≦ 1$ では

F (a) = \int_{0}^{a} e^{x} (a - x) d x + \int_{a}^{1} e^{x} (x - a) d x

である。 $a$ を少し増やしたときの変化を考えると，

F^{'} (a) = \int_{0}^{a} e^{x} d x - \int_{a}^{1} e^{x} d x = (e^{a} - 1) - (e - e^{a}) = 2 e^{a} - e - 1

である。よって $F^{'} (a) = 0$ は $e^{a} = (e + 1) /2$ ，すなわち $a = lo g \frac{e + 1}{2}$ を与える。

また $F^{'} (a) = 2 e^{a} - e - 1$ は $a$ について増加するので，この点の前で負，後で正である。さらに $1 < (e + 1) /2 < e$ より $0 < lo g \frac{e + 1}{2} < 1$ である。したがって，定積分を最小にする値は $a = lo g \frac{e + 1}{2}$ である。

東京工業大学 1984年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 1984年度
理系数学第4問