東京工業大学 1984年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$d=a^2-ab+b^2={\left(a-\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}>0$ である。また

である。したがって $c^2>d$ かつ $c^2\leqq 4d$ であるから，$1<\frac{c^2}{d}\leqq 4$ が成り立つ。

(2)

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=cd$ である。$a^3+b^3=p^N$ と書けるとする。ただし $p$ は素数，$N$ は正の整数である。$c$，$d$ は正の整数で $cd=p^N$ だから，ある整数 $r\geqq 1$，$s\geqq 0$ により $c=p^r$，$d=p^s$ と書ける。

(1) より $1<p^{2r-s}\leqq 4$ であるから，$p^{2r-s}$ は $2,3,4$ のいずれかである。また

を用いる。

まず $c^2/d=2$ のとき，$(a-b{)}^2=c^2/3$ である。これは $c^2=3(a-b{)}^2$ を意味するが，正の整数 $c$ についてこれは不可能である。実際，3が $c^2$ を割り切るので3は $c$ を割り切り，同じ議論を繰り返すことになって正の整数ではあり得ない。

次に $c^2/d=3$ のとき，$(a-b{)}^2=d/3$ かつ $c^2=3d$ である。よって $c^2=9(a-b{)}^2$ となり，$c=3|a-b|$ である。$w=|a-b|$ とおくと，$a+b=3w$ であるから，$\{a,b\}=\{w,2w\}$ である。このとき $a^3+b^3=9w^3$ であるから，これが素数のべきとなるには $w=3^m$ であることが必要十分である。したがって $(a,b)=(3^m,2\cdot 3^m),(2\cdot 3^m,3^m)$ を得る。

最後に $c^2/d=4$ のとき，$(a-b{)}^2=0$ であるから $a=b$ である。このとき $a^3+b^3=2a^3$ であるから，これが素数のべきとなるには $a=2^m$ であることが必要十分である。したがって $(a,b)=(2^m,2^m)$ を得る。

以上より，求める組は，$m$ を0以上の整数として$(a,b)=(2^m,2^m),(3^m,2\cdot 3^m),(2\cdot 3^m,3^m)$である。実際，これらはそれぞれ $a^3+b^3=2^{3m+1}$，$3^{3m+2}$，$3^{3m+2}$ となるので条件を満たす。