東京工業大学 1984年度
理系数学 第2問

解答

$x+y+z=n$ を満たす正の整数の組の総数は，$x-1$，$y-1$，$z-1$ を0以上の整数と見ることにより $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ である。

条件 $x\leqq y+z$ は，$x+y+z=n$ のもとで $x\leqq n-x$，すなわち $x\leqq n/2$ と同値である。他の2つも同様である。したがって，条件を満たさない組は，$x,y,z$ のうちちょうど1つが $n/2$ より大きい組である。2つが同時に $n/2$ より大きいことは，和が $n$ を超えるので起こらない。

$n=2m$ のとき，例えば $x>n/2=m$ となる組では $x=m+1,m+2,\dots ,2m-2$ であり，各 $x$ に対して $(y,z)$ は $2m-x-1$ 通りである。よってその個数は $(m-2)+(m-3)+\cdots +1=\frac{(m-1)(m-2)}{2}$ である。ここで $m=2$ のときは0通りと読む。どの変数が大きいかは3通りだから，求める個数は

である。

$n=2m+1$ のとき，例えば $x>n/2$ となる組では $x=m+1,m+2,\dots ,2m-1$ であり，各 $x$ に対して $(y,z)$ は $2m-x$ 通りである。よってその個数は $(m-1)+(m-2)+\cdots +1=\frac{m(m-1)}{2}$ である。ここで $m=1$ のときは0通りと読む。したがって求める個数は

である。

以上より，求める個数は

である。