東京工業大学 1983年度理系数学第5問解答・解説

問題

直線 $y = - x - 2$ を $l_{1}$ とし，曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の点 $P (t, \frac{1}{t})$ $(t > 1)$ における接線を $l_{2}$ とする．曲線 $y = - \frac{3}{x}$ $(x > 0)$ と2直線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ とで囲まれる部分の面積を $S (t)$ とするとき， $S (t)$ の最小値を求めよ．

出典：東京工業大学 1983年度前期理系第5問

方針

まず接線 $l_{2}$ の方程式を出し， $l_{1}$ と $y = - 3/ x$ ， $l_{2}$ と $y = - 3/ x$ ， $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を求める。囲まれる領域は，左側では2直線の間，右側では $l_{2}$ と双曲線の間である。積分で $S (t)$ を求めると $S (t) = 6 + 4/ (t - 1) + 3 lo g (3 t)$ に整理できるので，これを $t > 1$ で微分して最小値を決める。

解答

$y = 1/ x$ の $x = t$ における接線は $l_{2} : y = - \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t}$ である。

$l_{1} : y = - x - 2$ と $y = - 3/ x$ の交点は $x = 1$ であり， $l_{2}$ と $y = - 3/ x$ の正の $x$ 座標をもつ交点は $x = 3 t$ である。また $l_{1}$ と $l_{2}$ の交点の $x$ 座標を $x_{0}$ とすると， $x_{0} = \frac{2 t}{1 - t}$ である。 $t > 1$ より $x_{0} < 0 < 1 < 3 t$ である。

したがって面積は

S (t) = \int_{x_{0}}^{1} {- \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t} - (- x - 2)} d x + \int_{1}^{3 t} {- \frac{x}{t ^{2}} + \frac{2}{t} - (- \frac{3}{x})} d x

である。

第1項は2直線の間の三角形の面積として

\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{t ^{2}}) (1 - x_{0})^{2} = \frac{( t + 1 ) ( 3 t - 1 ) ^{2}}{2 t ^{2} ( t - 1 )}

である。第2項は

[- \frac{x ^{2}}{2 t ^{2}} + \frac{2 x}{t} + 3 lo g x]_{1}^{3 t} = \frac{3}{2} + 3 lo g (3 t) + \frac{1}{2 t ^{2}} - \frac{2}{t}

である。よって整理すると $S (t) = 6 + \frac{4}{t - 1} + 3 lo g (3 t)$ となる。

これを $t > 1$ で微分すると $S^{'} (t) = - \frac{4}{( t - 1 ) ^{2}} + \frac{3}{t}$ である。 $S^{'} (t) = 0$ は $3 (t - 1)^{2} = 4 t$ ，すなわち $3 t^{2} - 10 t + 3 = 0$ と同値であり， $t > 1$ では $t = 3$ だけが得られる。 $1 < t < 3$ では $S^{'} (t) < 0$ ， $t > 3$ では $S^{'} (t) > 0$ であるから， $S (t)$ は $t = 3$ で最小となる。

したがって最小値は $S (3) = 6 + \frac{4}{2} + 3 lo g 9 = 8 + 3 lo g 9$ である。

東京工業大学 1983年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京工業大学 1983年度
理系数学第5問