問題
，， を2等辺3角形の内角とし， とおく．
(1) の最大値を求めよ．
(2) のとる値の範囲を求めよ．
出典：東京工業大学 1983年度 前期 理系 第4問
方針
2等辺三角形なので等しい2角を ，残りの角を とおく。 であり， とすれば となる。これを で微分して増減を調べ，端点は三角形が退化するため含まれないことに注意する。
解答
(1)
は ，， について対称であるから，等しい2角を とおいてよい。このとき ， である。
したがってである。 とおくと で， となる。
これを で微分するとである。区間 で極値に関係する点は と である。増減を調べると， は で増加し， で減少する。ただし では増減は変わらない。
よって最大値は のときに生じ，である。
(2)
上の増減より， は で に近づき， で最大値 をとり，その後 で を通り， で に近づく。
端点 ， は三角形が退化するため含まれない。したがって のとる値の範囲はである。