東京工業大学 1983年度
理系数学 第2問

解答

$a=x(2-x)$ とおく。固定した $x$ に対して，点が通る $y$ の値は $0<t\leqq \frac{1}{2}$ における $y=\frac{1}{2}\left(t+\frac{a}{t}\right)$ の値全体である。

まず $a<0$，すなわち $x<0$ または $x>2$ のとき，この関数は $t$ について単調増加であり，$t\to +0$ で $y\to -\infty$，$t=\frac{1}{2}$ で $y=a+\frac{1}{4}$ となる。したがってこの場合は $y\leqq x(2-x)+\frac{1}{4}$ である。

次に $a=0$，すなわち $x=0,2$ のとき，$y=t/2$ であるから $0<y\leqq \frac{1}{4}$ である。

最後に $a>0$，すなわち $0<x<2$ の場合を考える。$t+a/t$ は $t=\sqrt{a}$ で最小値 $2\sqrt{a}$ をとるが，この $t$ が許されるのは $0<a\leqq \frac{1}{4}$ のときである。よって $0<a\leqq \frac{1}{4}$ では $y\geqq \sqrt{a}$ である。一方，$a\geqq \frac{1}{4}$ では $0<t\leqq \frac{1}{2}$ で最小値は端点 $t=\frac{1}{2}$ において生じ，$y\geqq a+\frac{1}{4}$ である。

ここで $a=x(2-x)\leqq \frac{1}{4}$ は $(x-1{)}^2\geqq \frac{3}{4}$ と同値である。したがって求める集合は次の通りである。

境界は，外側では放物線 $y=x(2-x)+\frac{1}{4}$ の下側，中間では同じ放物線の上側，両端寄りの $0<x<2$ では曲線 $y=\sqrt{x(2-x)}$ の上側である。点 $(0,0)$，$(2,0)$ は含まれない。