東京工業大学 1983年度理系数学第3問解答・解説

問題

$A = cos \frac{2 π}{3} sin \frac{2 π}{3} - sin \frac{2 π}{3} cos \frac{2 π}{3}$ とし，ベクトル $u_{n} = (x_{n} y_{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ を次のように定義する．

u_{1} = (00), u_{2} = (10), u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{2} A (u_{n - 1} - u_{n - 2}) (n ≧ 3)

(1) $x_{n}$ ， $y_{n}$ を求めよ．

(2) $lim_{n \to \infty} x_{n}$ ， $lim_{n \to \infty} y_{n}$ を求めよ．

出典：東京工業大学 1983年度前期理系第3問

方針

差 $d_{n} = u_{n} - u_{n - 1}$ を導入すると， $d_{n} = \frac{1}{2} A d_{n - 1}$ となる。これは長さを半分にし，向きを $2 π /3$ だけ回転する操作である。複素数 $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ に移して等比数列の和を計算し，最後に実数部分と虚数部分を読み取る。

解答

(1)

$d_{n} = u_{n} - u_{n - 1}$ $(n ≧ 2)$ とおく。与えられた漸化式から $d_{2} = (10)$ ， $d_{n} = \frac{1}{2} A d_{n - 1}$ $(n ≧ 3)$ である。行列 $A$ は角 $2 π /3$ の回転を表すので， $d_{n}$ は長さ $2^{- (n - 2)}$ ，偏角 $2 (n - 2) π /3$ のベクトルである。

そこで $z_{n} = x_{n} + y_{n} i$ とおくと， $n ≧ 1$ について

z_{n} = j = 0 \sum n - 2 {\frac{1}{2} (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})}^{j}

と表される。ただし $n = 1$ のときは空和を0とする。

$q = \frac{1}{2} (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}) = \frac{- 1 + 3 i}{4}$ とおくと， $1 - q = \frac{5 - 3 i}{4}$ であり， $z_{n} = \frac{1 - q ^{n - 1}}{1 - q} = \frac{5 + 3 i}{7} (1 - q^{n - 1})$ である。ここで $θ_{n} = \frac{2 ( n - 1 ) π}{3}$ とおけば， $q^{n - 1} = 2^{- (n - 1)} (cos θ_{n} + i sin θ_{n})$ であるから，

x_{n} y_{n} = \frac{1}{7} {5 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} (5 cos θ_{n} - 3 sin θ_{n})}, = \frac{1}{7} {3 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} (5 sin θ_{n} + 3 cos θ_{n})} .

これが求める $x_{n}$ ， $y_{n}$ である。

(2)

$cos θ_{n}$ ， $sin θ_{n}$ はいずれも絶対値が1以下であり， $2^{- (n - 1)} \to 0$ である。したがって $lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{5}{7}$ ， $lim_{n \to \infty} y_{n} = \frac{3}{7}$ である。

東京工業大学 1983年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1983年度
理系数学第3問