問題
不等式 で定まる領域を とする。原点を中心とし を正の向きに 回転させるとき， の点が通る点全体は平面上の1つの領域をつくる。この領域の第1象限にある部分の面積を求めよ。
出典：東京工業大学 1982年度 前期日程 理系 第4問
方針
楕円とその回転像はいずれも原点に関して星形なので，極座標で各方向の最大半径を求める。元の楕円の方向角 における半径の2乗は である。回転角を から まで動かすので，第1象限の方向角 に対して と に分け，極座標の面積公式で積分する。
解答
極座標で考える。元の楕円 について，方向角 の半直線上の境界点の距離を とすると， である。よって である。
楕円を角 だけ回転したとき，方向角 における半径の2乗は である。ただし である。固定した に対してこの値を最大にするには， をできるだけ小さくすればよい。
したがって，第1象限では のとき とできるから最大半径の2乗は である。また のときは が最適で，最大半径の2乗は である。
よって求める面積 は である。後半の積分で とおくと， となる。
さらに とおくと，， であるから， である。ここで とおくと， から は から に対応し，この積分は である。
したがって である。