問題
平面上の原点 を中心とする半径 の円 の周上に，同一直径上にない異なる2点 ， をとる。， の位置ベクトルをそれぞれ ， とし， とする。
(1) 零ベクトルでない の元の大きさの最小値 は ，， のうちの最小のものに等しいことを証明せよ。
(2) 2点 ， が を満たして の周上を動くとき， の面積 の最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 1982年度 前期日程 理系 第2問
方針
とおき，任意の整数 について を調べる。，，片方が の場合に分けると，候補 より短いものがないことを示せる。(2)では として， を ， で表し，条件 の範囲で面積を最小化する。
解答
(1)
とおく。 は同一直径上になく異なるから である。また である。
を整数とし， とする。 または のときは である。
次に とする。 とおくと は正の整数で， である。これと の差は であり，これは 以上である。したがって である。
最後に とする。同じく とおくと である。これと の差は であり，これも 以上である。よって である。
以上より，零ベクトルでない の元の大きさは必ず ，， のいずれか以上である。一方，，， はいずれも の元であり， であるから，最小値 はこれら3つの長さの最小値に等しい。
(2)
とする。条件より である。， であるから，(1)より となるための条件は かつ である。したがって である。
面積は である。 において の最小値は両端で であるから， の最小値は である。