東京工業大学 1982年度
理系数学 第3問

解答

接点を $(t,t^4-6t^2)$ とする。曲線の導関数は $4t^3-12t$ であるから，接点における接線は $y=(4t^3-12t)(x-t)+t^4-6t^2$ である。これが $P(\alpha ,\beta )$ を通る条件は $\beta =(4t^3-12t)\alpha -3t^4+6t^2$ である。

そこで $F(t)=3t^4-4\alpha t^3-6t^2+12\alpha t+\beta$ とおく。点 $P$ から引ける接線の接点の $x$ 座標は $F(t)=0$ の実根で与えられる。また $F^{\prime }(t)=12(t^2-1)(t-\alpha )$ である。

まず $\alpha \geqq 1$ とする。このとき極値を与える点は $-1,1,\alpha$ の順であり，$t=\alpha$ は極小点である。一方，$P$ は曲線の上側にあるから $\beta >{\alpha }^4-6{\alpha }^2$ であり，これは $F(\alpha )>0$ を意味する。極小値が正なので，4つの異なる実根は得られない。$\alpha \leqq -1$ の場合も同様に，$t=\alpha$ が極小点となり $F(\alpha )>0$ であるから不可能である。したがって必要条件として $-1<\alpha <1$ を得る。

以下 $-1<\alpha <1$ とする。このとき極値の順序は $-1,\alpha ,1$ であり，$t=-1$ と $t=1$ が極小点，$t=\alpha$ が極大点である。4次関数 $F(t)$ は上に開くので，$F(t)=0$ が異なる4実根をもつための条件は，2つの極小値が負で，中央の極大値が正であることと同値である。

各値は $F(-1)=\beta -8\alpha -3$，$F(1)=\beta +8\alpha -3$，$F(\alpha )=\beta -{\alpha }^4+6{\alpha }^2$ である。よって条件は $\beta <8\alpha +3$，$\beta <3-8\alpha$，$\beta >{\alpha }^4-6{\alpha }^2$ である。前二者は $\beta <3-8|\alpha |$ とまとめられる。

以上より，求める領域は $-1<\alpha <1$，${\alpha }^4-6{\alpha }^2<\beta <3-8|\alpha |$ である。図示すると，曲線 $\beta ={\alpha }^4-6{\alpha }^2$ の上側で，折れ線 $\beta =3-8|\alpha |$ の下側にある部分であり，端点 $(\pm 1,-5)$ と境界は含まない。