東京工業大学 1982年度
理系数学 第1問

解答

半径 $1/n$ の小円の中心は，もとの円と同じ中心をもつ半径 $1+1/n$ の円周上にある。2つの小円が重ならないためには，それらの中心間の距離が $2/n$ 以上であればよい。

$0<{\theta }_n<\pi$ を $2(1+1/n)\sin ({\theta }_n/2)=2/n$ で定める。すなわち $\sin ({\theta }_n/2)=1/(n+1)$ である。小円の中心を円周上に順に並べたとき，隣り合う中心の中心角はいずれも ${\theta }_n$ 以上でなければならないから，$k$ 個並べられるなら $k{\theta }_n\leqq 2\pi$ である。したがって $k\leqq 2\pi /{\theta }_n$ である。

逆に，$k{\theta }_n\leqq 2\pi$ なら，半径 $1+1/n$ の円周を $k$ 等分して中心を置けば，隣り合う中心角は $2\pi /k\geqq {\theta }_n$ である。よって隣り合う中心間距離は $2/n$ 以上であり，小円は互いに重ならない。したがって $a_n$ は $a_n{\theta }_n\leqq 2\pi <(a_n+1){\theta }_n$ を満たす。

ここで $x_n={\theta }_n/2$ とおくと，$\sin x_n=1/(n+1)$ であり $x_n\to 0$ である。よって $\sin x_n/x_n\to 1$ から $(n+1)x_n\to 1$，すなわち $n{\theta }_n\to 2$ である。上の不等式より $a_n{\theta }_n\to 2\pi$ であるから，$a_n/n=(a_n{\theta }_n)/(n{\theta }_n)\to \pi$ となる。ゆえに求める極限は $\pi$ である。