大阪大学 2016年度
理系数学 第5問

解答

(1)

正五角形の一辺の長さは$x$，対角線の長さは$y$である。円に内接する四角形$ABCD$にPtolemyの定理を用いると，$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$ である。ここで $AC=BD=AD=y,AB=BC=CD=x$ なので $y^2=x^2+xy$ となる。したがって $\boxed{x^2=y(y-x)}$ である。

また，$\phi =y/x$とおくと ${\phi }^2=1+\phi$ であり，$\phi >0$より $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ である。

(2)

正五角形では，辺$AB$と辺$CD$の方向は，辺$BC$の方向に対して対称である。したがって $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ は$\overrightarrow{BC}$と同じ向きである。

さらに，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角は$144^{\circ }$であるから，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=2x\cos 72^{\circ }$ である。正五角形の黄金比の関係から $2\cos 72^{\circ }=\frac{1}{\phi }$ なので $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=\frac{x}{\phi }$ である。一方，$|\overrightarrow{BC}|=x$で向きは同じだから，

である。

(3)

対角線の交点でできる内側の正五角形$R_2$は，もとの正五角形$R_1$と相似である。五芒星の各辺では，対角線が黄金比で分割されるため，$R_2$の一辺と$R_1$の一辺の比は $\frac{1}{{\phi }^2}$ である。したがって$R_2$の一辺の長さは $\frac{x}{{\phi }^2}$ である。 ${\phi }^2=\phi +1$より $\frac{1}{{\phi }^2}=2-\phi =\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ なので，求める長さは $\boxed{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}$ である。

(4)

(3)より，$R_{n+1}$と$R_n$の一辺の比は常に $\rho =\frac{1}{{\phi }^2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ である。したがって面積比は $\frac{S_{n+1}}{S_n}={\rho }^2$ であり，$S_k=S_1{\rho }^{2(k-1)}$ である。よって

である。 $0<\rho <1$なので，この交代等比級数の極限は $\frac{1}{1+{\rho }^2}$ である。ここで ${\rho }^2={\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^2=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ だから

である。

したがって求める極限は $\boxed{\frac{3+\sqrt{5}}{6}}$ である。

別解。正五角形を単位円上の複素数で表し，隣り合う頂点の差を辺ベクトルとして計算してもよい。5つの辺ベクトルは72度ずつ回転しているため，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{BC}$方向の成分だけをもち，大きさは$x/\phi$になる。この方法でも(2)の係数$\phi$が得られ，内側五角形の相似比$1/{\phi }^2$へ自然につながる。