問題
正の整数に対して
とおき，1以上以下のすべての奇数の積をとする．
(1) 以下の最大の整数をとするとき，は奇数の整数であることを示せ．
(2) となる正の整数の組をすべて求めよ．
(3) 整数とをみたす実数を用いて，
と表すとき，の値を求めよ．
方針
(1)は各を（奇数）と分ける。かつはの因数なのでは整数であり，和全体も整数。奇偶は，かつ，つまりの項だけが奇数になることから示す。(2)はが整数と仮定し，ならが偶数になって(1)に矛盾することを使う。よってを直接調べる。(3)はを16で割った余りで調べ，小数部分をとして求める。
解答
(1)
を任意にとり， と表す。ただしは奇数である。は以下の最大の整数なので である。したがってならである。またはを満たす奇数なので，の因数である。
よって は整数である。したがって は整数である。
次に奇偶を調べる。上の項 が奇数となるには，でなければならない。つまりである。このときだから，奇数はに限られる。したがって奇数の項はに対応する1項だけであり，他の項はすべて偶数である。
よって和は奇数の整数である。
(2)
となるなら，は整数である。もしならであり，は奇数5を因数にもつ。このとき である。右辺は整数であり，しかもなので偶数である。これは(1)で示した「奇数の整数」に反する。したがって であり， である。
そこでを調べる。は
である。このうち の形でが正の整数になるのは だけである。よって である。
(3)
ではであるから，(1)より は奇数の整数である。の小数部分を求めるには，この整数を16で割った余りを求めればよい。 である。が奇数のとき，はを割り切るので，は16の倍数であり，16で割った余りは0である。偶数について余りを調べると，
である。したがって である。
よってある整数を用いて と書ける。したがって であり，求める小数部分は である。