問題
1以上6以下の2つの整数に対し，関数 を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．
（ア）
（イ）
（ウ）
以下の問いに答えよ．
(1) のとき，を求めよ．
(2) のとき，を求めよ．
(3) 1個のさいころを2回投げて，1回目に出る目を，2回目に出る目をとするとき，となる確率を求めよ．
出典：大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
文系第3問と同じくとおき，帰納的に，を得る。これにより(1)と(3)はの評価と整数条件に帰着する。(2)はでなので，の周期12を使う。100項は12項周期8回と4項に分け，1周期の和が0であることを確認して残りだけ足す。
解答
とおく。定義から である。これを繰り返すと，正の整数について が成り立つ。したがって である。
(1)
のとき である。よって である。
(2)
のとき であるから，求める和は である。はについて周期12をもち，も周期2をもつので，積全体は周期12をもつ。
1周期分の和は である。実際，との項は
となり，互いに打ち消し合う。 なので，最初の4項だけを足せばよい。したがって
である。
(3)
は，すなわちの場合なので である。したがってとなる条件は が整数であること。 でこれを満たす順序つきの組は の8通りである。全事象は36通りなので，求める確率は である。