問題
次の問いに答えよ．
(1) を正の定数とする．正の実数がをみたすとき，
の最小値をを用いて表せ．
(2) 正の実数がをみたすとき，
の最大値を求めよ．
出典：大阪大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)はのもとでを使う。式はなので，最小値はが最大のとき，すなわちで取る。(2)はを固定してとし，(1)を適用する。ただし第3因子はで負なので，積を最大にするには前半2因子を最小にする必要がある。よってに絞り，残った1変数関数を微分して最大値を求める。
解答
(1)
であるから
である。正の実数について，和がに固定されているとき であり，等号はのときに成り立つ。したがってはが最大のときに最小となるので，求める最小値は である。
(2)
を固定する。であり，である。(1)をとして用いると，
であり，等号は のときに成り立つ。
一方，では である。したがって全体の積を最大にするには，正である前半2因子の積をできるだけ小さくすればよい。よって最大値の候補は のときに得られる。
このとき与式の値をとすると
である。で微分すると である。では，，なので，の符号はを境に正から負へ変わる。したがってはで最大となる。
よって最大値は
である。このとき で等号が成り立つ。
別解。(2)では第3因子が常に負であることを先に見ると，問題の向きが分かりやすい。つまり，を固定したとき前半2因子を大きくすると積は小さくなるため，最大値を狙うなら前半2因子を最小にする。ここで(1)がそのまま使える。符号を見落として前半2因子を最大にしようとすると，正の実数で最大が存在しない方向へ進んでしまう。