大阪大学 2014年度理系数学第5問解答・解説

問題

さいころを繰り返し投げ， $n$ 回目に出た目を $X_{n}$ とする． $n$ 回目までに出た目の積 $X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ を $T_{n}$ で表す． $T_{n}$ を5で割った余りが1である確率を $p_{n}$ とし，余りが $2, 3, 4$ のいずれかである確率を $q_{n}$ とする．

(1) $p_{n} + q_{n}$ を求めよ．

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ と $n$ を用いて表せ．

(3) $r_{n} = (\frac{6}{5})^{n} p_{n}$ とおいて $r_{n}$ を求めることにより， $p_{n}$ を $n$ の式で表せ．

出典：大阪大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

積を5で割った余りを見る問題なので、5の目が一度でも出ると以後の余りは0になることをまず使う。(1) は5が一度も出ない確率である。(2) では余り1から余り1へ進む目は $1, 6$ の2通り、余り2,3,4から余り1へ進む目はそれぞれ1通りであることを数え、 $q_{n} = (5/6)^{n} - p_{n}$ を代入して $p_{n}$ だけの漸化式にする。(3) は指定された $r_{n} = (6/5)^{n} p_{n}$ により一次漸化式を定数係数に直し、初期値 $p_{1} = 1/3$ から解く。

解答

(1)

$T_{n} = X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ が5で割り切れないためには、 $n$ 回のうち一度も5の目が出ないことが必要十分である。5以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ なので $p_{n} + q_{n} = (\frac{5}{6})^{n}$ である。

(2)

$T_{n}$ の余りが1であるとする。このとき $T_{n + 1}$ の余りも1になるには、次の目 $X_{n + 1}$ の余りが1であればよい。サイコロの目で5で割った余りが1になるのは $1, 6$ の2通りであるから、その確率は $2/6$ である。

次に、 $T_{n}$ の余りが $2, 3, 4$ のいずれかであるとする。余りを1にする次の目は、それぞれ $2 \cdot 3 \equiv 1, 3 \cdot 2 \equiv 1, 4 \cdot 4 \equiv 1 (mod 5)$ に対応する1通りだけである。したがって、その確率は $1/6$ である。

よって $p_{n + 1} = \frac{2}{6} p_{n} + \frac{1}{6} q_{n}$ である。(1) より $q_{n} = (5/6)^{n} - p_{n}$ だから

p_{n + 1} = \frac{2}{6} p_{n} + \frac{1}{6} {(\frac{5}{6})^{n} - p_{n}} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{n}

である。したがって $p_{n + 1} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{n}$ である。

(3)

$r_{n} = (\frac{6}{5})^{n} p_{n}$ とおく。(2) の両辺に $(6/5)^{n + 1}$ を掛けると

r_{n + 1} = (\frac{6}{5})^{n + 1} {\frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{n}} = \frac{1}{5} (\frac{6}{5})^{n} p_{n} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} r_{n} + \frac{1}{5}

となる。

また、1回目で余りが1となるのは目が1または6の場合なので $p_{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ であり、 $r_{1} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ である。漸化式 $r_{n + 1} = \frac{1}{5} r_{n} + \frac{1}{5}$ の一定値を $c$ とすると $c = \frac{1}{5} c + \frac{1}{5}$ より $c = \frac{1}{4}$ である。したがって $r_{n + 1} - \frac{1}{4} = \frac{1}{5} (r_{n} - \frac{1}{4})$ である。

初期値から $r_{1} - \frac{1}{4} = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$ なので $r_{n} - \frac{1}{4} = \frac{3}{20} (\frac{1}{5})^{n - 1}$ である。よって

r_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{20} (\frac{1}{5})^{n - 1} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4 \cdot 5 ^{n}}

である。したがって

p_{n} = (\frac{5}{6})^{n} r_{n} = (\frac{5}{6})^{n} (\frac{1}{4} + \frac{3}{4 \cdot 5 ^{n}}) = \frac{5 ^{n} + 3}{4 \cdot 6 ^{n}}

である。

大阪大学 2014年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2014年度
理系数学第5問