大阪大学 2014年度
理系数学 第3問

解答

$x>0$ で $\frac{1}{\sqrt{x}}$ は単調に減少する。

まず下から評価する。各自然数 $n$ について、区間 $[n,n+1]$ では $\frac{1}{\sqrt{x}}\leqq \frac{1}{\sqrt{n}}$ である。したがって ${\int }_n^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$ である。これを $n=1,2,\dots ,40000$ について足すと ${\sum }_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}>{\int }_1^{40001}\frac{dx}{\sqrt{x}}$ となる。右辺は ${\int }_1^{40001}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2(\sqrt{40001}-1)$ である。$\sqrt{40001}>200$ だから $2(\sqrt{40001}-1)>2(200-1)=398$ である。よって ${\sum }_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}>398$ を得る。

次に上から評価する。$n\geqq 2$ について、区間 $[n-1,n]$ では $\frac{1}{\sqrt{x}}\geqq \frac{1}{\sqrt{n}}$ であり、区間の内部では不等号は厳しい。したがって $\frac{1}{\sqrt{n}}<{\int }_{n-1}^n\frac{dx}{\sqrt{x}}$ である。よって

である。

以上より $398<{\sum }_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}<399$ である。したがって求める整数部分は $\boxed{398}$ である。