問題
実数，，，，に対して，座標平面上の点，，をとる．ただし点と点はどちらも原点とは異なる点とする．このとき，実数，で
を満たすものが存在するための，，，，，についての必要十分条件を求めよ．
出典：大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
条件を成分で書けば、未知数 に関する2本の一次方程式 、 が解をもつかどうかの問題になる。 と が平行でない、すなわち の場合は任意の を表せる。平行な場合は一次結合で表せる点が原点を通る1本の直線上に限られるため、 が零ベクトルである場合と、その直線自体が 軸である場合を分けて必要十分条件をまとめる。
解答
条件 を成分で書くと である。したがって
を満たす実数 が存在する条件を求めればよい。
まず の場合を考える。このとき と は平行でないので、上の連立方程式は任意の右辺 に対してただ1つの解をもつ。実際、消去法で解けば分母に が現れ、これが0でないため解が定まる。したがってこの場合は条件を満たす。
次に の場合を考える。このとき と は平行であり、これらの一次結合で表せる点は、原点を通る同じ直線上の点に限られる。
もし なら、 であるから、 とすれば条件を満たす。
また なら、 はどちらも原点ではないので、、 の少なくとも一方は0でない 軸方向のベクトルである。このとき は 軸上の点なので、たとえば0でない方のベクトルを実数倍することで を表せる。したがって条件を満たす。
逆に、、、かつ の少なくとも一方が0でないとする。このとき 、 が作る原点を通る直線は 軸ではない。したがって、その直線上にない0でない 軸上の点 は、 と の一次結合では表せない。
以上より、求める必要十分条件は である。