大阪大学 2014年度理系数学第2問解答・解説

問題

$t > 0$ において定義された関数 $f (t)$ は次の条件（ア）（イ）を満たす．

（ア） $t > 0$ のとき，すべての実数 $x$ に対して不等式

t \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + f (t) ≧ 1 + x

が成り立つ．

（イ） $t > 0$ に対して，等式

t \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + f (t) = 1 + x

を満たす実数 $x$ が存在する．

このとき， $f (t)$ を求めよ．

出典：大阪大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

条件（ア）は、固定した $t > 0$ に対して $f (t)$ が $1 + x - t (e^{x} + e^{- x}) /2$ のすべての値以上であることを意味する。条件（イ）で等号を達成する $x$ が存在するので、 $f (t)$ はその関数の最大値そのものである。そこで $g (x) = 1 + x - t (e^{x} + e^{- x}) /2$ とおき、 $g^{''} (x) < 0$ から最大点が一意に決まることを確認して、 $g^{'} (x) = 0$ を $u = e^{x} > 0$ で解く。最後に最大点での $x$ と $t (e^{x} + e^{- x}) /2$ を代入する。

解答

$t > 0$ を固定し、 $g (x) = 1 + x - t \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ とおく。条件（ア）は、すべての実数 $x$ に対して $f (t) ≧ g (x)$ が成り立つことを表している。さらに条件（イ）より等号を満たす実数 $x$ が存在するので、 $f (t)$ は $g (x)$ の最大値である。

導関数を求めると $g^{'} (x) = 1 - t \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ であり、 $g^{''} (x) = - t \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} < 0$ である。したがって $g^{'} (x)$ は単調に減少し、 $g^{'} (x) = 0$ を満たす点があればそこで最大値をとる。

最大点を求める。 $g^{'} (x) = 0$ より $t \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 1$ である。ここで $u = e^{x} (u > 0)$ とおくと $t \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 1$ すなわち $u^{2} - \frac{2}{t} u - 1 = 0$ となる。この2次方程式の解は $u = \frac{1 \pm 1 + t ^{2}}{t}$ であるが、 $1 + t^{2} > 1$ より、負号の解は負である。したがって $u = \frac{1 + 1 + t ^{2}}{t}$ であり、最大点の $x$ は $x = lo g \frac{1 + 1 + t ^{2}}{t}$ である。

この最大点では $\frac{t}{2} (u + \frac{1}{u}) = 1 + t^{2}$ が成り立つ。実際、 $t (u - u^{- 1}) /2 = 1$ だから、右辺の正の値として

{\frac{t}{2} (u + \frac{1}{u})}^{2} = {\frac{t}{2} (u - \frac{1}{u})}^{2} + t^{2} = 1 + t^{2}

となる。

よって最大値は

f (t) = 1 + x - t \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1 + lo g \frac{1 + 1 + t ^{2}}{t} - 1 + t^{2}

である。したがって $f (t) = 1 + lo g \frac{1 + 1 + t ^{2}}{t} - 1 + t^{2}$ である。

大阪大学 2014年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

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理系数学第2問