大阪大学 2014年度理系数学第4問解答・解説

問題

半径1の2つの球 $S_{1}$ と $S_{2}$ が1点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ $n$ 個 $(n ≧ 3)$ の球 $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ があり，次の条件（ア）（イ）を満たす．

（ア） $T_{i}$ は $S_{1}$ ， $S_{2}$ にそれぞれ1点で接している $(i = 1, 2, \dots, n)$ ．

（イ） $T_{i}$ は $T_{i + 1}$ に1点で接しており $(i = 1, 2, \dots, n - 1)$ ，そして $T_{n}$ は $T_{1}$ に1点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ の共通の半径 $r_{n}$ を求めよ．

(2) $S_{1}$ と $S_{2}$ の中心を結ぶ直線のまわりに $T_{1}$ を回転してできる回転体の体積を $V_{n}$ とし， $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ の体積の和を $W_{n}$ とするとき，極限

n \to \infty lim \frac{W _{n}}{V _{n}}

を求めよ．

出典：大阪大学 2014年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

2つの単位球の中心を $(- 1, 0, 0)$ 、 $(1, 0, 0)$ に置き、その中心を結ぶ直線を軸とする。各 $T_{i}$ は2つの単位球に同時に接するので、中心は中央の平面上、軸から距離 $ρ$ の円周上に並ぶ。接球条件から $ρ^{2} = r (r + 2)$ を得る。隣り合う $T_{i}$ の中心間距離は $2 r$ で、中心角は $2 π / n$ なので $r = ρ sin (π / n)$ となり、これを連立して $r_{n}$ を求める。(2) は軸からの距離を変数にして回転体の体積を断面積分で出し、球の体積和との比を取る。

解答

(1)

$S_{1}, S_{2}$ の中心をそれぞれ $(- 1, 0, 0), (1, 0, 0)$ に置き、この2点を結ぶ直線を $x$ 軸とする。 $T_{i}$ の共通半径を $r$ 、その中心と $x$ 軸との距離を $ρ$ とする。 $T_{i}$ は $S_{1}, S_{2}$ の両方に外接するので、 $T_{i}$ の中心は2つの中心から等距離にある。したがってその中心は平面 $x = 0$ 上にある。また、 $S_{1}$ の中心から $T_{i}$ の中心までの距離は $1 + r$ であるから、直角三角形より $1^{2} + ρ^{2} = (1 + r)^{2}$ である。よって $ρ^{2} = r^{2} + 2 r = r (r + 2)$ を得る。

次に、 $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ の中心は、平面 $x = 0$ 上で半径 $ρ$ の円周上に並ぶ。隣り合う球は接するので、隣り合う中心間の距離は $2 r$ である。互いに重ならず円周上を一周して並ぶため、隣り合う中心を結ぶ弦の中心角は $\frac{2 π}{n}$ である。したがって弦の長さより $2 ρ sin \frac{π}{n} = 2 r$ すなわち $r = ρ sin \frac{π}{n}$ である。

これを $ρ^{2} = r (r + 2)$ に代入する。 $r > 0$ なので $r^{2} = ρ^{2} sin^{2} \frac{π}{n} = r (r + 2) sin^{2} \frac{π}{n}$ より $r = (r + 2) sin^{2} \frac{π}{n}$ である。したがって $r (1 - sin^{2} \frac{π}{n}) = 2 sin^{2} \frac{π}{n}$ となり、 $r cos^{2} \frac{π}{n} = 2 sin^{2} \frac{π}{n}$ である。よって $r_{n} = 2 tan^{2} \frac{π}{n}$ である。

(2)

$T_{1}$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求める。 $x$ 軸からの距離を $u$ として、 $x$ 軸を含む平面で断面を見ると、 $T_{1}$ の断面は $(u - ρ)^{2} + v^{2} ≦ r_{n}^{2}$ で表される半径 $r_{n}$ の円板である。距離 $u$ の細い帯を回転すると、円周 $2 π u$ と幅により体積要素を作るので $V_{n} = \int_{ρ - r_{n}}^{ρ + r_{n}} 2 π u \cdot 2 r_{n}^{2} - (u - ρ)^{2} d u$ である。 $w = u - ρ$ とおくと

V_{n} = 4 π \int_{- r_{n}}^{r_{n}} (ρ + w) r_{n}^{2} - w^{2} d w = 4 π ρ \int_{- r_{n}}^{r_{n}} r_{n}^{2} - w^{2} d w + 4 π \int_{- r_{n}}^{r_{n}} w r_{n}^{2} - w^{2} d w

である。第2項は奇関数の積分なので0であり、第1項の積分に現れる値は、半径 $r_{n}$ の半円の面積だから $\int_{- r_{n}}^{r_{n}} r_{n}^{2} - w^{2} d w = \frac{π r _{n}^{2}}{2}$ である。したがって $V_{n} = 2 π^{2} ρ r_{n}^{2}$ である。

一方、 $T_{1}, T_{2}, \dots, T_{n}$ は半径 $r_{n}$ の球なので、体積の和は $W_{n} = n \cdot \frac{4 π r _{n}^{3}}{3}$ である。よって

\frac{W _{n}}{V _{n}} = \frac{n \cdot \frac{4 π r _{n}^{3}}{3}}{2 π ^{2} ρ r _{n}^{2}} = \frac{2 n}{3 π} \cdot \frac{r _{n}}{ρ}

である。(1) の途中で得た $r_{n} = ρ sin (π / n)$ より $\frac{W _{n}}{V _{n}} = \frac{2 n}{3 π} sin \frac{π}{n}$ となる。したがって

n \to \infty lim \frac{W _{n}}{V _{n}} = \frac{2}{3 π} n \to \infty lim n sin \frac{π}{n} = \frac{2}{3 π} \cdot π = \frac{2}{3}

である。

大阪大学 2014年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2014年度
理系数学第4問