大阪大学 2010年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を0以上の整数とする．立方体 $A B C D - E F G H$ の頂点を，以下のように移動する2つの動点 $P$ ， $Q$ を考える．時刻0には $P$ は頂点 $A$ に位置し， $Q$ は頂点 $C$ に位置している．時刻 $n$ において， $P$ と $Q$ が異なる頂点に位置していれば，時刻 $n + 1$ には， $P$ は時刻 $n$ に位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移り， $Q$ も時刻 $n$ に位置していた頂点から，それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻 $n$ において， $P$ と $Q$ が同じ頂点に位置していれば，時刻 $n + 1$ には $P$ も $Q$ も時刻 $n$ の位置からは移動しない．

(1) 時刻1において， $P$ と $Q$ が異なる頂点に位置するとき， $P$ と $Q$ はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．

(2) 時刻 $n$ において， $P$ と $Q$ が異なる頂点に位置する確率 $r_{n}$ を求めよ．

(3) 時刻 $n$ において， $P$ と $Q$ がともに上面 $A B C D$ の異なる頂点に位置するか，またはともに下面 $E F G H$ の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を $p_{n}$ とする．また，時刻 $n$ において， $P$ と $Q$ のいずれか一方が上面 $A B C D$ ，他方が下面 $E F G H$ にある確率を $q_{n}$ とする． $p_{n + 1}$ を， $p_{n}$ と $q_{n}$ を用いて表せ．

(4) $n \to \infty lim \frac{q _{n}}{p _{n}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

2点が異なる頂点にいる間だけ動くので，まず「異なる状態」が次に同じ頂点へ吸収される確率を数える。初期状態 $(A, C)$ は同じ面の対角線上にあり，異なるまま推移した場合も常にどこかの面の対角線上にあるため，共通の隣接頂点が2個であることを使える。(3)以降は，同じ上下面にいる状態 $p$ と，上面・下面に分かれる状態 $q$ に分類し，代表例を1つずつ使って9通りの移動を数える。最後は $t_{n} = q_{n} / p_{n}$ の漸化式を作って極限を求める。

解答

(1) 時刻0で $P$ は $A$ ， $Q$ は $C$ にある。上面を $A B C D$ ，下面を $E F G H$ とし，それぞれ対応する頂点が

A \leftrightarrow E, B \leftrightarrow F, C \leftrightarrow G, D \leftrightarrow H

であるとする。 $A$ に隣接する頂点は $B, D, E$ であり， $C$ に隣接する頂点は $B, D, G$ である。したがって時刻1で可能な $(P, Q)$ の組は9通りある。そのうち同じ頂点になるのは $(B, B), (D, D)$ である。

よって，時刻1において $P$ と $Q$ が異なる頂点に位置するとき，可能な組は $(B, D), (B, G), (D, B), (D, G), (E, B), (E, D), (E, G)$ である。

(2) $P, Q$ が異なる頂点にあるとき，初期状態から到達しうる異なる状態は，つねに立方体のある面の対角線の両端である。実際，(1)で列挙した7通りはいずれもどこかの面の対角線であり，同じ性質は以後も保たれる。

面の対角線の両端にある2頂点は，隣接頂点を2つ共有する。したがって，次の時刻に2点が同じ頂点へ移る移動は $2$ 通りである。一方，2点はそれぞれ3通りの隣接頂点へ移るので，全体は $3 \cdot 3 = 9$ 通りである。よって，異なる頂点にいたものが次も異なる頂点にいる確率は $\frac{9 - 2}{9} = \frac{7}{9}$ である。同じ頂点になった後は動かないので， $r_{n}$ について $r_{n + 1} = \frac{7}{9} r_{n}$ が成り立つ。 $r_{0} = 1$ だから $r_{n} = (\frac{7}{9})^{n}$ である。

(3) $p_{n}$ は2点が同じ水平面上の異なる頂点にある確率， $q_{n}$ は一方が上面，他方が下面にある確率である。

まず， $p_{n}$ 型の代表として $(P, Q) = (A, C)$ を考える。 $P$ は $B, D, E$ へ， $Q$ は $B, D, G$ へ移る。9通りのうち，同じ水平面上の異なる頂点になるのは $(B, D), (D, B), (E, G)$ の3通りである。また，上面と下面に分かれるのは $(B, G), (D, G), (E, B), (E, D)$ の4通りである。残り2通りは同じ頂点になる。

したがって $p_{n}$ 型から $p_{n + 1}$ 型へ移る確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ である。

次に， $q_{n}$ 型の代表として $(P, Q) = (B, G)$ を考える。 $B$ に隣接する頂点は $A, C, F$ であり， $G$ に隣接する頂点は $C, F, H$ である。9通りのうち，同じ水平面上の異なる頂点になるのは $(A, C), (F, H)$ の2通りである。したがって $q_{n}$ 型から $p_{n + 1}$ 型へ移る確率は $\frac{2}{9}$ である。

以上より $p_{n + 1} = \frac{1}{3} p_{n} + \frac{2}{9} q_{n}$ である。

(4) (3)と同じ数え上げから， $p_{n}$ 型から $q_{n + 1}$ 型へ移る確率は $4/9$ ， $q_{n}$ 型から $q_{n + 1}$ 型へ移る確率は $5/9$ である。よって $q_{n + 1} = \frac{4}{9} p_{n} + \frac{5}{9} q_{n}$ である。 $p_{n} > 0$ なので $t_{n} = \frac{q _{n}}{p _{n}}$ とおく。(3)の式と上の式から

t_{n + 1} = \frac{q _{n + 1}}{p _{n + 1}} = \frac{4 p _{n} + 5 q _{n}}{3 p _{n} + 2 q _{n}} = \frac{4 + 5 t _{n}}{3 + 2 t _{n}}

である。

ここで $t_{n + 1} - 2 = \frac{4 + 5 t _{n}}{3 + 2 t _{n}} - 2 = \frac{t _{n} - 2}{3 + 2 t _{n}}$ である。 $t_{n} ≧ 0$ だから分母は $3$ 以上であり， $t_{n}$ は $2$ に近づく。実際， $t_{0} = 0$ であり，上の式から $t_{n} - 2$ の絶対値は各段階で小さくなる。

したがって $n \to \infty lim \frac{q _{n}}{p _{n}} = 2$ である。

大阪大学 2010年度理系数学 第5問

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