問題
半径3の球と半径1の球が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球が次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
(A) はの内部にあるかに内接している．
(B) はの外部にあるかに外接している．
の中心が存在しうる範囲をとするとき，立体の体積を求めよ．
方針
動く球 の中心 が満たす条件に置き換える。 が半径3の球 の内部にある条件は中心間距離 ，半径1の球 の外部にある条件は中心間距離 である。したがって，求める立体は半径2の球から，中心距離2の同じ半径2の球との共通部分を除いたものになる。主解では球冠の体積で重なりを引き，別解では軸方向の断面積を積分する。
解答
半径3の球 の中心を ，半径1の球 の中心を とする。 と は内接しているので である。
半径1の球 の中心を とする。条件(A)より， が の内部にあるか内接するためには であることが必要十分である。
また条件(B)より， が の外部にあるか外接するためには であることが必要十分である。
したがって は，中心 ，半径2の球のうち，中心 ，半径2の球の内部を除いた部分である。ただし境界は体積に影響しない。
半径2の2つの球の中心間距離は2である。共通部分は，2つの合同な球冠からなる。2つの中心のちょうど中間の平面が共通部分を二等分し，各球における球冠の高さは である。
半径 ，高さ の球冠の体積は である。ここでは ， だから，1つの球冠の体積は である。よって2球の共通部分の体積は である。
中心 ，半径2の球の体積は だから，求める体積は である。
別解。断面積を積分してもよい。 を原点， を 軸上の点 に置く。 とし， とおくと，条件は である。 では第2条件は自動的に満たされるので，断面積は である。 では外側の円板から内側の円板を除くので，断面積は である。 では第2条件を満たす点はない。
したがって体積は であり，
となる。