大阪大学 2010年度理系数学第1問解答・解説

問題

関数 $f (x) = 2 lo g (1 + e^{x}) - x - lo g 2$ を考える．ただし，対数は自然対数であり， $e$ は自然対数の底とする．

(1) $f (x)$ の第2次導関数を $f^{''} (x)$ とする．等式 $lo g f^{''} (x) = - f (x)$ が成り立つことを示せ．

(2) 定積分 $\int_{0}^{l o g 2} (x - lo g 2) e^{- f (x)} d x$ を求めよ．

出典：大阪大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は $f^{'} (x), f^{''} (x)$ を直接計算し，さらに $e^{- f (x)}$ を指数法則で整理して同じ式になることを示す。 $f^{''} (x) > 0$ も確認しておくと対数が定義できる。(2) は(1)から $e^{- f (x)} = f^{''} (x)$ と置き換え， $L = lo g 2$ として $\int_{0}^{L} (x - L) f^{''} (x) d x$ を部分積分する。端点で $f^{'} (0) = 0$ が効くので，最後は $f (0) - f (L)$ の計算に帰着する。

解答

(1) $f (x) = 2 lo g (1 + e^{x}) - x - lo g 2$ である。まず微分すると

f^{'} (x) = 2 \cdot \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} - 1 = \frac{2 e ^{x} - ( 1 + e ^{x} )}{1 + e ^{x}} = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1}

である。さらに $f^{''} (x) = \frac{e ^{x} ( e ^{x} + 1 ) - ( e ^{x} - 1 ) e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}$ である。特に $f^{''} (x) > 0$ である。

一方， $e^{- f (x)} = e^{- 2 l o g (1 + e^{x}) + x + l o g 2}$ であるから $e^{- f (x)} = \frac{2 e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}$ となる。よって $f^{''} (x) = e^{- f (x)}$ である。両辺は正なので対数をとることができ， $lo g f^{''} (x) = - f (x)$ が成り立つ。

(2) $L = lo g 2$ とおく。(1)より $e^{- f (x)} = f^{''} (x)$ であるから，求める積分 $I$ は $I = \int_{0}^{L} (x - L) f^{''} (x) d x$ である。

部分積分を用いると $I = [(x - L) f^{'} (x)]_{0}^{L} - \int_{0}^{L} f^{'} (x) d x$ である。ここで $x = L$ では $(x - L) = 0$ であり， $x = 0$ では $f^{'} (0) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$ である。したがって境界項は0で， $I = - \int_{0}^{L} f^{'} (x) d x = - (f (L) - f (0)) = f (0) - f (L)$ となる。 $f (0)$ は $f (0) = 2 lo g 2 - 0 - lo g 2 = lo g 2$ である。また $L = lo g 2$ なので $e^{L} = 2$ であり， $f (L) = 2 lo g (1 + 2) - lo g 2 - lo g 2 = 2 lo g 3 - 2 lo g 2$ である。

ゆえに $I = lo g 2 - (2 lo g 3 - 2 lo g 2) = 3 lo g 2 - 2 lo g 3 = lo g \frac{8}{9}$ である。積分区間では $x - L ≦ 0$ ， $e^{- f (x)} > 0$ なので，結果が負になることとも合っている。

大阪大学 2010年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

大阪大学 2010年度
理系数学第1問