大阪大学 2006年度
理系数学 第5問

解答

(1)

正方形を $A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1)$ とおく。$BP=t$ とすると，$P=(t,0)$ であり，まず $0<t<1$ である。 $Q=(1,q)$ とおく。$\angle APB$ は，点 $P$ から見て左向きの水平線 $PB$ と $PA$ のなす角であるから $\tan \angle APB=\frac{1}{t}$ である。また $\angle QPC$ は右向きの水平線 $PC$ と $PQ$ のなす角なので $\tan \angle QPC=\frac{q}{1-t}$ である。角が等しいから $\frac{q}{1-t}=\frac{1}{t},q=\frac{1-t}{t}$ となる。$Q$ が辺 $CD$ 上の頂点でない点であるためには $0<q<1$ すなわち $t>\frac{1}{2}$ が必要である。

次に $R=(r,1)$ とおく。点 $Q$ で，$QC$ は下向きの垂直線，$QD$ は上向きの垂直線である。したがって $\tan \angle PQC=\frac{1-t}{q}=t,$ また $\tan \angle RQD=\frac{1-r}{1-q}$ である。角が等しいので $\frac{1-r}{1-q}=t$ である。$q=(1-t)/t$ を代入すると $1-q=1-\frac{1-t}{t}=\frac{2t-1}{t}$ だから $1-r=t\cdot \frac{2t-1}{t}=2t-1,r=2-2t$ である。

最後に $S=(0,s)$ とおく。点 $R$ で，$RD$ は右向きの水平線，$RA$ は左向きの水平線である。上と同様に $\tan \angle QRD=\frac{1-q}{1-r},\tan \angle SRA=\frac{1-s}{r}$ である。角が等しいので $\frac{1-q}{1-r}=\frac{1-s}{r}$ である。ここで $1-q=\frac{2t-1}{t},1-r=2t-1,r=2-2t$ だから $\frac{1-q}{1-r}=\frac{1}{t}$ となり，

である。$S$ が辺 $AB$ 上の頂点でない点であるためには $0<s<1$ である。すなわち $0<3-\frac{2}{t}<1$ であり，これを解いて $\boxed{\frac{2}{3}<t<1}$ を得る。

(2)

直線 $AP$ は $y=1-\frac{x}{t}$ である。また $R=(2-2t,1)$，$S=(0,3-2/t)$ だから，直線 $RS$ の傾きは $\frac{1-(3-2/t)}{2-2t}=\frac{1}{t}$ であり，$y=3-\frac{2}{t}+\frac{x}{t}$ と書ける。交点 $T$ は $1-\frac{x}{t}=3-\frac{2}{t}+\frac{x}{t}$ を満たすので $x=1-t,y=2-\frac{1}{t}$ である。したがって $T=\left(1-t,2-\frac{1}{t}\right)$ である。

四角形 $PQRT$ の頂点をこの順に並べ，座標による面積公式を用いる。すなわち

として計算する。$2/3<t<1$ ではこの順にたどる向きで正の面積が得られるので，

したがって $f(t)=\frac{2(1-t)(2t-1)}{t}$ である。

これを $f(t)=6-4t-\frac{2}{t}$ と書くと $f^{\prime }(t)=-4+\frac{2}{t^2}=\frac{2(1-2t^2)}{t^2}$ である。したがって $f^{\prime }(t)=0$ となるのは $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり，これは $2/3,1$ に含まれる。また $f^{\prime }(t)>0$ は $t<1/\sqrt{2}$，$f^{\prime }(t)<0$ は $t>1/\sqrt{2}$ であるから，この点で最大となる。最大値は $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=6-4\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}=6-4\sqrt{2}$ である。よって $\boxed{6-4\sqrt{2}}$ が最大値である。