大阪大学 2006年度理系数学第1問解答・解説

問題

曲線 $y = x sin^{2} x$ と直線 $y = x$ の共有点のうち， $x$ 座標が正のものを， $x$ 座標が小さいものから順に $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ とし，第 $n$ 番目の点を $A_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) 点 $A_{n}$ の $x$ 座標を求めよ．また，点 $A_{n}$ において，曲線 $y = x sin^{2} x$ と直線 $y = x$ は接していることを示せ．

(2) 線分 $A_{n} A_{n + 1}$ と曲線 $y = x sin^{2} x$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：大阪大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

共有点では $x > 0$ なので， $x sin^{2} x = x$ を $sin^{2} x = 1$ に割り戻せる。したがって共有点の $x$ 座標は $π /2$ から $π$ 間隔で並ぶ。接することは，曲線の導関数がその点で直線 $y = x$ の傾き1と一致することを示せばよい。面積は，隣り合う共有点の間で直線が上，曲線が下にあり，差が $x cos^{2} x$ になることから積分する。

解答

(1)

共有点では $x sin^{2} x = x$ である。問題では $x$ 座標が正の共有点を考えるので $x > 0$ であり，両辺を $x$ で割って $sin^{2} x = 1$ を得る。したがって $x = \frac{π}{2} + k π (k = 0, 1, 2, \dots)$ である。小さい順に並べると，点 $A_{n}$ の $x$ 座標は $x_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ である。

次に接することを示す。曲線 $y = x sin^{2} x$ の導関数は $\frac{d}{d x} (x sin^{2} x) = sin^{2} x + x sin 2 x$ である。 $x = x_{n}$ では $sin^{2} x_{n} = 1$ かつ $sin 2 x_{n} = sin ((2 n - 1) π) = 0$ だから，接線の傾きは $1 + 0 = 1$ である。直線 $y = x$ の傾きも1であり，しかも両者は $A_{n}$ で共有点をもつ。よって点 $A_{n}$ において曲線と直線は接している。

(2)

$A_{n}$ の $x$ 座標を $a = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ とおくと， $A_{n + 1}$ の $x$ 座標は $a + π$ である。この区間では $x - x sin^{2} x = x cos^{2} x ≧ 0$ なので，求める面積 $S_{n}$ は $S_{n} = \int_{a}^{a + π} x cos^{2} x d x$ である。 $cos^{2} x = (1 + cos 2 x) /2$ を用いると

S_{n} = \frac{1}{2} \int_{a}^{a + π} x d x + \frac{1}{2} \int_{a}^{a + π} x cos 2 x d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{x sin 2 x}{4} + \frac{cos 2 x}{8}]_{a}^{a + π} .

ここで $2 a = (2 n - 1) π$ なので， $sin 2 a = sin (2 a + 2 π) = 0$ ， $cos 2 a = cos (2 a + 2 π) = - 1$ である。よって三角関数を含む項は上下端で打ち消し合い， $S_{n} = \frac{( a + π ) ^{2} - a ^{2}}{4} = \frac{2 aπ + π ^{2}}{4} .$ $a = (2 n - 1) π /2$ を代入すると $S_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) π ^{2} + π ^{2}}{4} = \frac{n π ^{2}}{2}$ である。したがって $S_{n} = \frac{n π ^{2}}{2}$ である。

大阪大学 2006年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2006年度
理系数学第1問