大阪大学 2006年度
理系数学 第2問

解答

点 $(x,y)$ に対して $u=x+y,v=x-y$ とおく。この座標では，直線 $l:y=x$ は $v=0$，直線 $l^{\prime }:y=-x$ は $u=0$ で表される。点 $A(a,b)$ に対応する値を $u_0=a+b,v_0=a-b$ とおく。$A$ は $l,l^{\prime }$ のどちらの上にもないので $u_0{v}_0\ne 0$ である。

直線 $m$ と $l$ の交点 $P$ の $u$ 座標を $p$ とすると，$P$ は $(p,0)$ と表せる。また，$m$ と $l^{\prime }$ の交点 $P^{\prime }$ の $v$ 座標を $q$ とすると，$P^{\prime }$ は $(0,q)$ と表せる。点 $Q$ の新座標を $(U,V)$ とする。ベクトル条件

は新座標でも成分ごとに成り立つので $(p,0)+(0,q)=(u_0,v_0)+(U,V)$ である。したがって $p=U+u_0,q=V+v_0$ である。

まず $p,q$ がともに0でない場合を考える。直線 $P{P}^{\prime }$ は新座標平面で切片形 $\frac{u}{p}+\frac{v}{q}=1$ と書ける。点 $A$ がこの直線上にあるから $\frac{u_0}{U+u_0}+\frac{v_0}{V+v_0}=1$ である。分母を払うと $u_0(V+v_0)+v_0(U+u_0)=(U+u_0)(V+v_0)$ であり，整理して $UV=u_0{v}_0$ を得る。

もし $p=q=0$ なら，$P=P^{\prime }=O$ で，直線 $m$ は $O$ と $A$ を通る。このときベクトル条件より $Q=-A$ であり，新座標では $(U,V)=(-u_0,-v_0)$ となるから，やはり $UV=u_0{v}_0$ が成り立つ。

元の座標で $Q=(X,Y)$ と書けば $U=X+Y,V=X-Y$ であるから，軌跡は $(X+Y)(X-Y)=(a+b)(a-b)$ すなわち $\boxed{X^2-Y^2=a^2-b^2}$ である。$a^2-b^2\ne 0$ なのでこれは双曲線であり，$X+Y=0$ と $X-Y=0$，すなわち $y=-x$ と $y=x$ を漸近線にもつ。

逆に，この双曲線上の点 $(U,V)$ に対し，$p=U+u_0$，$q=V+v_0$ とおけば，$p=q=0$ のときは直線 $OA$，そうでなければ切片 $(p,0),(0,q)$ を結ぶ直線をとることで同じ点 $Q$ が得られる。したがって点 $Q$ の軌跡は，直線 $l,l^{\prime }$ を漸近線とする上の双曲線である。