大阪大学 2006年度
理系数学 第4問

解答

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を基底として考える。三角形 $OAB$ の重心 $G$ は

である。また

である。

点が三角形 $OPQ$ の内部にあるための条件は，ある正の数 $\lambda ,\mu$ によって

と表せることである。ここで辺上は内部に含まないので，$\lambda >0$，$\mu >0$，$\lambda +\mu <1$ はすべて厳密不等式である。

係数を比較すると $\frac{1}{3}=\lambda a,\frac{1}{3}=\mu b$ であるから $\lambda =\frac{1}{3a},\mu =\frac{1}{3b}$ となる。したがって必要十分条件は $\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}<1$ すなわち $\boxed{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<3}$ である。もともと $0<a<1$，$0<b<1$ であるから，これと合わせたものが条件である。

図示のために $b$ の範囲に直す。$1/a+1/b<3$ は $a+b<3ab$ である。これを $b$ について解くには $3a-1$ の符号に注意する。条件を満たすには $3a-1>0$ が必要で，そのとき $b>\frac{a}{3a-1}$ である。さらに $b<1$ も必要なので $\frac{a}{3a-1}<1$ が必要である。これは $a>1/2$ と同値である。よって図示すべき範囲は $\boxed{\frac{1}{2}<a<1,\frac{a}{3a-1}<b<1}$ である。座標平面では，単位正方形 $0<a<1,0<b<1$ の中で，曲線 $b=a/(3a-1)$ の上側，かつ直線 $b=1$ の下側にある部分である。境界は内部に含まれないため，いずれも含まない。