大阪大学 2006年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x$ ， $y$ を変数とする．

(1) $n$ を自然数とする．次の等式が成り立つように定数 $a$ ， $b$ を定めよ．

\frac{n + 1}{y ( y + 1 ) \dots ( y + n ) ( y + n + 1 )} = \frac{a}{y ( y + 1 ) \dots ( y + n )} + \frac{b}{( y + 1 ) ( y + 2 ) \dots ( y + n + 1 )}

(2) すべての自然数 $n$ について，次の等式が成り立つことを証明せよ．

\frac{n !}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} = r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + r}

出典：大阪大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

(1)は両辺に共通分母を掛け， $y$ の係数と定数項を比較して $a, b$ を決める。(2)は(1)を利用した数学的帰納法で示す。 $n$ の式と， $x$ を $x + 1$ に置き換えた式の差を作ると，左辺が $(n + 1)! / [x (x + 1) \dots (x + n + 1)]$ になり，右辺の係数はパスカルの関係で $_{n + 1} C_{r}$ にまとまる。別解として，両辺に共通分母を掛けて多項式として比較する方法も自然である。

解答

(1)

両辺に $y (y + 1) \dots (y + n) (y + n + 1)$ を掛けると $n + 1 = a (y + n + 1) + b y$ である。右辺を整理すると $(a + b) y + a (n + 1)$ であるから，恒等式として成り立つためには $a + b = 0, a (n + 1) = n + 1$ であればよい。 $n$ は自然数なので $n + 1 \neq = 0$ であり， $a = 1, b = - 1$ である。

(2)

数学的帰納法で示す。 $n = 1$ のとき，求める等式は $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ であり，成り立つ。

ある自然数 $n$ について

\frac{n !}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} = r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + r}

が成り立つと仮定する。この式で $x$ を $x + 1$ に置き換えると

\frac{n !}{( x + 1 ) ( x + 2 ) \dots ( x + n + 1 )} = r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + 1 + r}

である。

(1)の結果を $y = x$ に適用すると

\frac{n + 1}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n ) ( x + n + 1 )} = \frac{1}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} - \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 ) \dots ( x + n + 1 )}

である。両辺に $n!$ を掛けると

\frac{( n + 1 )!}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n + 1 )} = \frac{n !}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} - \frac{n !}{( x + 1 ) ( x + 2 ) \dots ( x + n + 1 )} .

ここに帰納法の仮定と，その $x + 1$ 版を代入する。右辺は

r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + r} - r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + 1 + r}

である。第2の和で添字を $r + 1$ から $r$ にずらすと

\frac{1}{x} + r = 1 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r} + _{n} C _{r - 1}}{x + r} + (- 1)^{n + 1} \frac{1}{x + n + 1}

となる。パスカルの関係 $_{n} C_{r} +_{n} C_{r - 1} =_{n + 1} C_{r}$ より，これは $\sum_{r = 0}^{n + 1} (- 1)^{r} \frac{_{n + 1} C _{r}}{x + r}$ である。したがって $n + 1$ でも成り立つ。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について

\frac{n !}{x ( x + 1 ) \dots ( x + n )} = r = 0 \sum n (- 1)^{r} \frac{_{n} C _{r}}{x + r}

が成り立つ。

別解。示したい等式の両辺に $D = x (x + 1) \dots (x + n)$ を掛ける。右辺は $\sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r}_{n} C_{r} \prod_{j \neq = r} (x + j)$ となる。これは $x$ の高々 $n$ 次式である。 $x = - s$ $s = 0, 1, \dots, n$ を代入すると，和のうち $r = s$ 以外の項は因子 $x + s$ を含んで0になる。残る項は

(- 1)^{s}_{n} C_{s} j \neq = s \prod (j - s) = (- 1)^{s}_{n} C_{s} {(- 1)^{s} s! (n - s)!} = n!

である。高々 $n$ 次式が $n + 1$ 個の値 $x = 0, - 1, \dots, - n$ で定数 $n!$ と一致するので，恒等的に $n!$ に等しい。これで同じ等式が示される。

大阪大学 2006年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2006年度
理系数学第3問