大阪大学 2005年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を正の整数， $a$ を正の実数とする．曲線 $y = x^{n}$ と曲線 $y = a lo g x$ が，点 $P$ で共通の接線をもつとする．ただし，対数は自然対数である．点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1) $a$ ， $t$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ．

(2) 曲線 $y = x^{n}$ と $x$ 軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の面積を $S_{1}$ とする．また，曲線 $y = a lo g x$ と $x$ 軸および直線 $x = t$ で囲まれる部分の面積を $S_{2}$ とする．このとき， $\frac{S _{2}}{S _{1}}$ を $n$ を用いて表せ．

(3) $x ≧ 0$ のとき，不等式 $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} ≦ e^{- x} + x - 1 ≦ \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを，次の(a)，(b)に分けて示せ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(a) $x ≧ 0$ のとき，不等式 $e^{- x} + x - 1 ≦ \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを示せ．

(b) $x ≧ 0$ のとき，不等式 $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} ≦ e^{- x} + x - 1$ が成り立つことを示せ．

(4) 極限値 $n \to \infty lim \frac{S _{2}}{S _{1}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

(1) は2曲線が同じ点で接する条件として、関数値の一致と微分係数の一致を立てる。 $t > 0$ に注意し、 $a = n t^{n}$ を代入して $lo g t = 1/ n$ を得る。(2) は $t = e^{1/ n} > 1$ なので、 $a lo g x$ と $x$ 軸で囲まれる部分が $1 ≦ x ≦ t$ にあることを確認して積分する。(3) は指定に従い、補助関数を置いて導関数の符号から上下の不等式を示す。(b) では (a) の結果を導関数の非負性として再利用する。(4) は (2) の比を $x = 1/ n$ で書き直し、(3) の評価で $(e^{- x} + x - 1) / x^{2}$ をはさむ。

解答

(1)

共通接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $a lo g x$ が定義されるため $t > 0$ である。点 $P$ が両方の曲線上にあるので、関数値の一致から $t^{n} = a lo g t$ である。また接線の傾きが等しいので、微分係数の一致から $n t^{n - 1} = \frac{a}{t}$ である。 $t > 0$ だから、これより $a = n t^{n}$ を得る。これを $t^{n} = a lo g t$ に代入すると $t^{n} = n t^{n} lo g t$ である。 $t^{n} > 0$ なので割ることができ、 $1 = n lo g t$ すなわち $lo g t = \frac{1}{n}$ である。したがって $t = e^{1/ n}$ であり、 $a = n t^{n} = n (e^{1/ n})^{n} = n e$ である。

(2)

まず

S_{1} = \int_{0}^{t} x^{n} d x = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{t} = \frac{t ^{n + 1}}{n + 1}

である。

次に $t = e^{1/ n} > 1$ であり、曲線 $y = a lo g x$ は $x = 1$ で $x$ 軸と交わる。したがって $S_{2} = \int_{1}^{t} a lo g x d x$ である。 $\int lo g x d x = x lo g x - x$ より、 $S_{2} = a [x lo g x - x]_{1}^{t} = a (t lo g t - t + 1)$ となる。

(1) の結果 $t = e^{1/ n}$ 、 $a = n e$ 、 $lo g t = 1/ n$ を用いると、 $S_{2} = n e (\frac{t}{n} - t + 1) = e {t - n t + n} = e {n - (n - 1) t}$ である。また $t^{n} = e$ だから $S_{1} = \frac{t ^{n + 1}}{n + 1} = \frac{e t}{n + 1}$ である。よって

\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{e { n - ( n - 1 ) t }}{e t / ( n + 1 )} = (n + 1) (\frac{n}{t} - (n - 1)) = (n + 1) {n e^{- 1/ n} - n + 1} .

(3)

(a) $F (x) = \frac{x ^{2}}{2} - {e^{- x} + x - 1} = \frac{x ^{2}}{2} - e^{- x} - x + 1$ とおく。すると $F (0) = 0$ であり、 $F^{'} (x) = x + e^{- x} - 1, F^{''} (x) = 1 - e^{- x}$ である。 $x ≧ 0$ では $0 < e^{- x} ≦ 1$ だから $F^{''} (x) = 1 - e^{- x} ≧ 0$ である。よって $F^{'} (x)$ は $x ≧ 0$ で単調増加し、 $F^{'} (x) ≧ F^{'} (0) = 0$ である。したがって $F (x)$ も $x ≧ 0$ で単調増加し、 $F (x) ≧ F (0) = 0$ となる。すなわち $e^{- x} + x - 1 ≦ \frac{x ^{2}}{2}$ である。

(b)

$G (x) = e^{- x} + x - 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}$ とおく。示すべき不等式は $G (x) ≧ 0$ である。まず $G (0) = 0$ であり、 $G^{'} (x) = - e^{- x} + 1 - x + \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{2}}{2} - {e^{- x} + x - 1}$ である。(a) で示した不等式より、 $x ≧ 0$ では $G^{'} (x) ≧ 0$ である。したがって $G (x)$ は $x ≧ 0$ で単調増加し、 $G (x) ≧ G (0) = 0$ である。よって $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} ≦ e^{- x} + x - 1$ が成り立つ。

(4)

(2) より $\frac{S _{2}}{S _{1}} = (n + 1) {n e^{- 1/ n} - n + 1}$ である。ここで $x = \frac{1}{n}$ とおくと、 $n \to \infty$ のとき $x \to + 0$ であり、

\frac{S _{2}}{S _{1}} = (\frac{1}{x} + 1) (\frac{e ^{- x}}{x} - \frac{1}{x} + 1) = (1 + x) \frac{e ^{- x} + x - 1}{x ^{2}}

となる。

(3) の不等式を $x > 0$ で $x^{2}$ によって割ると、 $\frac{1}{2} - \frac{x}{6} ≦ \frac{e ^{- x} + x - 1}{x ^{2}} ≦ \frac{1}{2}$ である。 $x \to + 0$ のとき、左端も右端も $1/2$ に近づくので、はさみうちの原理により $lim_{x \to + 0} \frac{e ^{- x} + x - 1}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ である。また $1 + x \to 1$ だから、 $lim_{n \to \infty} \frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{1}{2}$ である。

別解。(3) の評価は積分を使って示すこともできる。 $x ≧ 0$ で $e^{- x} + x - 1 = \int_{0}^{x} (1 - e^{- u}) d u$ である。まず $1 - e^{- u} ≦ u$ は、 $H (u) = e^{- u} - 1 + u$ とおくと $H (0) = 0$ 、 $H^{'} (u) = 1 - e^{- u} ≧ 0$ から従う。また $u - u^{2} /2 ≦ 1 - e^{- u}$ は、 $K (u) = 1 - u + u^{2} /2 - e^{- u}$ とおくと $K (0) = 0$ 、 $K^{'} (u) = - 1 + u + e^{- u}$ 、 $K^{''} (u) = 1 - e^{- u} ≧ 0$ なので $K^{'} (u) ≧ K^{'} (0) = 0$ 、したがって $K (u) ≧ 0$ から従う。よって $u - \frac{u ^{2}}{2} ≦ 1 - e^{- u} ≦ u$ を $0 ≦ u ≦ x$ で積分すれば $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} ≦ e^{- x} + x - 1 ≦ \frac{x ^{2}}{2}$ が得られる。

大阪大学 2005年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(b)

(4)

大阪大学 2005年度
理系数学第5問