大阪大学 2005年度
理系数学 第2問

解答

$n=1$ のとき $S(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},T(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ である。したがって $S(1)=T(1)$ が成り立つ。

次に、ある正の整数 $n$ について $S(n)=T(n)$ が成り立つと仮定する。このとき $S(n+1)={\sum }_{p=1}^{2n+2}\frac{(-1{)}^{p-1}}{p}$ であり、$S(n)$ との差は最後に増えた2項だけなので $S(n+1)-S(n)=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$ である。

一方、$T(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$ であり、$T(n+1)=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots +\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$ である。共通する $1/(n+2)$ から $1/(2n)$ までの項は差を取ると消えるから、

となる。

したがって $S(n+1)-S(n)=T(n+1)-T(n)$ である。帰納法の仮定 $S(n)=T(n)$ を用いると、$S(n+1)=S(n)+\{S(n+1)-S(n)\}=T(n)+\{T(n+1)-T(n)\}=T(n+1)$ となる。

以上より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 $n$ について $S(n)=T(n)$ が成り立つ。

なお、確認として左辺を2項ずつまとめると

であり、これは調和数を用いれば $1+1/2+\cdots +1/(2n)-2(1/2+1/4+\cdots +1/(2n))$、すなわち $1/(n+1)+\cdots +1/(2n)$ と一致する。ただし設問は帰納法を指定しているので、答案の中心は上の帰納法に置く。